3.A [解析] 画出图形如图所示,
由题意知,在△ABC中,∠BAC= °,AC=4×15 =60 ,∠B= °. 由正弦定理 =, ∠ 得BC=· ∠ ° = °=60, ∴此时船与灯塔的距离为60 km.故选A.
4.B [解析] 设AB=AC=2,由黄金分割点的定义可得AD=CD·AC,解得AD= -1.在△ABC中,因为A= °,AB=AC,所以∠ABC=7 °.又因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD= °,所以BD=AD= -1.在△ABD中,由余弦定理得cos A= ,即cos °=· 故选B.
5.4.2 [解析] 设此时灯塔B与船相距m海里,由余弦定理得,m= - × × × °≈4.2.
6.A [解析] ∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC= °,∴AC= AB=200 (m).
又∠MCA= °- °- °=7 °,∠MAC= °+ °= °,∴∠AMC= °-∠MCA-∠
- 2
- - - - ×
=
.
MAC= °,
在△AMC中,由正弦定理
=,得MC= ∠ ∠ · °=200 (m), °
∴MN=MC·sin∠MCN=200 ·sin °=300(m).故选A.
7.D [解析] 设BC的长度为x米(x>1),AC的长度为y米,则AB的长度为y- 米. 在△ABC中,由余弦定理AB=AC+BC-2AC·BCcos∠ACB,得y- =y+x-2yx× ,化简得
2
2
2
222
y(x-1)=x2- ,
∵x>1,∴x-1>0,∴y==(x-1)+- -
-
+2≥ +2,
当且仅当x-1=
-
,即x=1+ 时,取等号,
∴y的最小值为2+ .故选D.
6
8.D [解析] 设船开始的位置为B,船航行45 km后处于C,如图所示, 可得∠DBC= °,∠ABD= °,BC=45 km,
∴∠ABC= °,∠BAC= °.
在△ABC中,利用正弦定理 ∠=, ∠ 可得
∠ AC= ∠==15 (km).故选
D.
2
2
9.C [解析] 如图所示,由余弦定理得 =200+150+2×200×150cos(α+β)①,由正弦定
理得 =,即sin α= sin β.又cos α= cos β,sinα+cosα=1,sinβ+cosβ=1,可得 sin β= ,cos β= ,sin α= ,cos α= ,故cos(α+β)= - =0,代入①解得v=100.故选C.
2
2
2
2
10.C [解析] 如图所示,AB=12 ,AC=12 ,
在△ABD中,B= °,由正弦定理有
2
2
== ° °
2
=24 ,所以AD=24.
在△ACD中,由余弦定理得CD=AC+AD-2AC·AD·cos °, 因为AC=12 ,AD=24,所以CD=12,
由正弦定理得 °= ∠,所以sin∠CDA= ,故∠CDA= °或∠CDA= °. 因为AD>AC,故∠CDA为锐角,所以∠CDA= °.故选C.
11.40 m [解析] 如图所示,过房屋顶部C作塔AB的垂线CE,垂足为E,则CD=10,∠ACE= °,∠BCE= °,
7
∴BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD= - =10 . ∵∠ACE= °,∠AEC=9 °, ∴AC=2CE=20 , ∴AE= - =30,
∴AB=AE+BE=30+10=40,故塔的高度为40 m.
12.3.5 [解析] 如图所示,设港口为O,小船行驶1.5小时到达B,此时大船行驶到A,大船折向按AC方向行驶,大船与小船同时到达C点时,用时最少.
设从A到C,大船行驶时间为t,则OA=40×(2.5+1.5)=160,AC=40t,OC=20×1.5+20t.由余弦定理得OA+OC-2OC·OA·cos °=AC,即12t+20t-217=0,
2
2
2
2
∴(2t-7)(6t+31)=0,解得t=3.5,
即最少需要3.5小时.
13.4062.5 [解析] 设在△ABC中,AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,由余弦定理知,cos B=弦定理得,
- =,所以sin B= = .设△ABC外接圆的半径为R,则由正 ·
7
=2R,所以R= = =4062.5(米).
14.解:(1)在△BCP中,由tan∠PBC=,得BC=在△ABC中,由正弦定理得所以AB=2( +1),
故船的航行速度是每小时6( +1)千米.
∠ =2,
=,即=, ∠ ∠ ° °
(2)在△BCD中,BD= +1,BC=2,∠CBD= °,则由余弦定理得cos∠CBD= ,解得CD= , · 由正弦定理 ∠=,得sin∠CDB= ,因为 °<∠CDB< °,所以∠CDB= °,
∠ 所以山顶位于D处南偏东 °的方向.
8
- 15.解:(1)依题意得,当乙出发1分钟后,BD=300,BE=100, 在△ABC中,cos B==
,又∵B∈ ,∴B=
.
在△BDE中,由余弦定理得DE2
=BD2
+BE2
-2BD·BE·cos B=3002
+1002
-2×300×100×
=70 000,∴DE=100 7,即此时甲、乙两人相距100 7 m.
(2)由题意得EF=2DE=2y,∠CEF=θ,则∠BDE=π-∠ABC-∠DEB=
-π-
-θ
=θ.
在直角三角形CEF中,CE=EFcos∠CEF=2ycos θ, 在△BDE中,由正弦定理
∠= ∠, 得
= °, ∴y= = ,0<θ<
,
∴当θ=
时,y有最小值50 ,即甲、乙之间的最小距离为50 m.
16.解:(1)∵在△OAB中,OA=3,OB=3 ,∠AOB=9 °,∴∠OAB= °. 在△AOM中,OA=3,AM=
,∠OAM= °,
由余弦定理OM2=OA2+AM2
-2OA·AM·cos∠OAM,得OM=
, ∴OM2+AM2=OA2,即OM⊥AN,∴∠AOM= °,
∴∠AON=∠AOM+∠MON= °,∴△OAN为正三角形,∴△OAN的周长为9,
即防护网的总长度为9 km.
(2)设∠AOM=θ °<θ< ° ,∵S△OMN= S△OAM,
∴
ON·OMsin °= × OA·OMsin θ,即ON=6 sin θ.
在△OAN中,由 °= ° ° ° = , 得ON= , 从而6 sin θ= ,即sin 2θ=
,由 °<2θ< °,
得2θ= °,∴θ= °,即∠AOM= °. (3)设∠AOM=θ °<θ< ° ,由(2)知,ON= , 又在△AOM中,由 °= ° - °
,得OM= °
, ∴S
7
7 7△OMN= OM·ON·sin °= ° = =
° , ∴当且仅当2θ+ °=9 °,即θ= °时,
△OMN的面积取得最小值,此时,S
2
△OMN= 7
,∴△OMN的最小面积为
7
km.
9