三角函数单元测试试卷讲评课教案
目标预设：⑴通过展示典型错误，引导辨析错因，帮助学生正确归因，完善知识体系，
掌握正确的思考方法和解题方法。
⑵通过一题多解，开拓解题思路，帮助学生掌握三角变换、三角函数的性质以及化归转化、分类讨论、数形结合等思想方法。
⑶通过变式拓展，强化思维训练，帮助学生学一个题会一类题，培养思维
的深刻性。
教学重点：错因分析与修正、一题多解探析 教学难点：自主纠错的引导及一题多解的探析 教学过程： 一、讲评分析 (一)第12题错解剖析 1、错解展示： 由∴
??????f???f???6??3?得，sin??3???6???3????????sin????3?3??3?，
，
?3???3??6????2k?或
??????????????2k?33??6∴??12kk?N??或??2?4k3?k?N?；
???f?x??sin?12kx??3???2k?,⑴若?12kx??12k?k?N??，则
???3，由
????x??,??63?得，
????????2k?,?4k??3?33?，由于区间????4k??3?中含有
2k???2，所以f?x?在
?????,?内必取得最大值，与题意不符； ?63?⑵若?(23?4k)x??23?4k?k?N?，则
???2f?x??si?(n?4k)x??3??3，由
????x??,??63?得，
?5?4?4?2????k?,?k??，???思维受阻！ 3?9393?
2、解法修正 对于情形⑵，区间??4??9?23k?,5?9???k??中含有k??32?4，受情形⑴的启发，当k为偶数
?1时，与题意不符，故答案只能存在于“k为奇数”中，验证后发现：当k此时??9?23?143时，符合题意，
?4?k??3?；当k为大于1的奇数时，都不符合题意（此时区间????6,?4??9?23k?,5?9的长度
k?超过2?，所以f?x?在????3?内必取得最大值）解题成功！
发现结论：“周期为T的函数在开区间?a,a?m?内只有一个最值点的必要条件是
m?T”，于是情形⑵修正如下：若?3??23?4k??k?N?，则f?x??sin?(2?3?4k)x????3?，周期
T?1?6k，由题意区间??143???6,??3???的长度?T?3?1?6k6，解得k?0,1,2，经检验只有当k?1时满足题意，此时?。
??????f???f???6??3?错解2：（让学生自己叙述）对条件“无最大值，”发现直线x??4，且f?x?在????6,???3?内一个最小值，
，所以
?4?是经过f?x?图像最低点的一条对称轴，即
?8k???f????1?4????3?2k??3?2，故?3?143?k?N?
?143修正：又
?6?T?7?12k，解得k?0，经检验k?0时满足题意，所以?。
3、错误归因
⑴数学知识：三角函数的周期与最值知识的缺陷，体现在：“周期为T的函数在开区间?a,a?m?内只有一个最值点的必要条件是m?T”不清楚；
⑵思想方法：缺乏数形结合的意识，体现在：纯代数推理受阻时，没有以形助数而中断解题思路；
⑶解题策略：缺少综合考虑已知条件的策略，体现在：对条件“f?在????6,????????f???6??3?，且f?x???”不能从图形上整体把握。 ?内一个最小值，无最大值，
3?⑷调控能力：在思维受阻时，缺乏调控能力, 体现在：不能将情形⑴的思路略加调整运用到情形⑵中来。
4、变式训练： 使y?sin?x???0?在?0,1?上至少出现两次最大值1的?的取值范围是 .
(二)一题多解
1、第14题的多解探析 思路一：导数法
cosx5?4cosx?sinxf/?4sinx25?4cosx?2cos2?x??x?5cosx?25?4cosx?5?4cosx?2?3x??3?(cosx?2)(2cosx?1)?5?4cosx?3，
由f/?x??0得，cos由f/?x??0得，cos由f/?x??0得，cos所以f?x?在?0,??2???3?x??x??x??121212（x??0,2??），解得x或x2?3?4?34?3，
?x?2?（x??0,2??），解得0?（x??0,2??），解得
,4???3?或，
2?3?x?4?3，
↗，??2??3↘，??4??,2???3?↗，
??max???2?f??32所以f?x?min?1?4????min?f?0?,f?????2?3???，f?x?max?1??,f?2??????2.
思路二：基本不等式法 ⑴当0?2x??时，f?x??0，又
2f2?x??sin2x5?4cosx?1?cosx5?4cosx，令t?5?4cosx,1?t?9
则f?x???∵1?t⑵??9
t?10t?916t9t??1?9??t??10?16?t?，
∴6?t??10 ∴ 0?f2?x??214 ∴0?f?x??1412，
?x?2?时, f?x??0，同理得0???11??22?,f?x??，∴?12?f?x??0，
综上，f?x?值域为??sinx5?4cosx。
思路三：基本不等式法（结合函数性质） ∵f?x??是T?2?的周期函数，
∴f?x?在?0,2??上的值域与在???,??上的值域相同， 当0????x??x??时，同解法二得
10?f?x??12，又∵f?x?在???,??上是奇函数，所以当
。
时，??11??f?x??0，所以值域为??,?2?22?
评注：⑴思路一用导数法求解，步骤程序化，关键在计算；思路二和思路三是采用分类讨论思想，运用基本不等式求解，但有区别，思路三充分利用f?x??sinx5?4cosx的周期
为T?2?和奇函数的特点，优化解题过程，简捷明快；而思路二没有考虑函数性质，略显繁琐。
⑵求函数值域的基本方法：单调法，导数法，基本不等式法等，求值域时注意数形结合思想的运用。
变式训练：已知f(x)?x?sinx?1x?1(x?R)最大值为M，最小值为m，则M+m= .
2、第3题的多解探析
思路一：单调法（图象法） ∵2R?asinA?4sin30??8，
∴b?c?2R(sin5???B?sinC)?8?sinB?sin(?B)??2(3?2)sinB?cosB?28?43sin?B???，
6????（取?为满足tan?∵0?B?5?6?13?2的锐角），
5?6??，∴可以取到B????2，∴??B???，
∴b?c的最大值为28?43即4?6?2?。
思路二：基本不等式法
由余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA 得b2?c2?3bc?16，即?b?c?2∵
4?16?2??3bc?，
?b?c?bc????2?6?22，∴
?2?3??1???b?c?2?16??4??，解得b?c?82?3，即b?c的最大值为
??。
?4变式训练：⑴在?ABC中，A?30?,BC
二、反思总结
，则S?ABC的最大值为 。
⑵（08江苏卷）在?ABC中，AB?2,AC?2BC，则S?ABC的最大值为 。
⑴数学知识：重视三角函数性质的灵活运用；
⑵思想方法：化归转化、分类讨论、数形结合思想解题； ⑶学习习惯：养成反思的习惯，不断积累解题经验。
三、针对练习
1、函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间??,??上的最大值是 。3
?4?2??22、已知函数
f(x)?sin(2x??)????3cos(2x??)(???)为奇函数，且在?0,??4?上是减函数，
则?的值
.
3、已知函数为
?3???f(x)?2sin??x??5??的图象与直线
y??1的交点中最近的两个交点的距离
，则函数f(x)的最小正周期为 。?
4、已知函数
?2???1,?2????f(x)?12?sinx?cosx??12sinx?cosx，则f(x)的值域是
5、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，C且面积等于3，则a= ，b= .
6、已知函数f(x)?asinx?bcosx(a、b为常数，a?0,x?R)在x??处取得最小
4??3，
值，则函数y?f(3??x)是 （填奇、偶）函数且其对称中心为??,0?，则
4?= 。k?