高等数学公式
1. 导数公式
(tgx)??secx221?x(ctgx)???cscx1(arccosx)???(secx)??secx?tgx21?x (cscx)???cscx?ctgx1(arctgx)??(ax)??axlna1?x211(logax)???(arcctgx)??xlna1?x2(arcsinx)??1常用等价无穷小 当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) （e^x）-1~x 222. 基本积分公式
dx?tgxdx??lncosx?C?cosx??secxdx?tgx?C?ctgxdx?lnsinx?Cdx?sinx??cscxdx??ctgx?Csecxdx?lnsecx?tgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cdx1x??a?x?aarctga?Caadx??C?dx1x?alna?x?a?2alnx?a?Cshxdx?chx?C?dx1a?x?a?x?2alna?x?C?chxdx?shx?C22222 ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x loga(1+x)~x/lna
xx2222?dxa2?x2?2n?arcsin?2x?Ca?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?CIn??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n ???
x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C 22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22第 1 页 共 13 页
3. 三角函数的有理式积分
2u1?u2x2dusinx?， cosx?， u?tg， dx?
21?u21?u21?u24. 一些初等函数 两个重要极限
ex?e?x双曲正弦:shx?2ex?e?x双曲余弦:chx?2shxex?e?x双曲正切:thx??xchxe?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)11?xarthx?ln21?x5. 三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α limsinx?1x?0x1lim(1?)x?e?2.718281828459045...x??x
sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?·积化和差公式： tg??tg?ctg??ctg??1tg(???)?ctg(???)?1?tg??tg?ctg??ctg???????cos22·和差化积公式：
??????cos??cos??2coscos22sin??sin??2sinsin??sin??2cos??????sin22
??????cos??cos??2sinsin22第 2 页 共 13 页
sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1·倍角公式：ctg2??2ctg?2tg?tg2??1?tg2?sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos? 3tg??tg3?tg3??1?3tg2?sin·半角公式：
?2????1?cos??1?cos? cos??2221?cos?1?cos?sin??1?cos?1?cos?sin??? ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?tg·正弦定理：
?2
abc???2R sinAsinBsinC222·余弦定理：c?a?b?2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx?? 三角函数图像
?2?arccosx arctgx??2?arcctgx
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6. 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??7. 中值定理与导数应用：
n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)2!k!
拉格朗日中值定理： f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)
柯西中值定理：
f(b)?f(a)f?(?)?
F(b)?F(a)F?(?)当F（x）= x ，二定理合一。 8. 曲率：
弧微分公式：ds?1?y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K???.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?sy????d?
M点的曲率：K?lim??.?s?0?sds(1?y?2)3直线：K?0;1半径为a的圆：K?.a9. 定积分与近似计算： 分步积分公式：
b?baudv??uv?a??vdu
abb矩形法：?f(x)?abb?a(y0?y1???yn?1) nb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1] n2b?a[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)] 3n梯形法：?f(x)?ab抛物线法：?f(x)?a10. 定积分应用相关公式：
b1m1m21力做功：W=FS ；水压力：F=pA ；引力：F?k2函数平均值：y?均方根：f(x)dx；f2(t)dt ??b?aab?aarb第 4 页 共 13 页
11. 空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i???c?a?b?axbxjaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222k??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bzaybycyaz ???bz?a?b?ccos?,?为锐角时，czax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0xyz3、截距世方程：???1abc平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0??空间直线的方程：???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?二次曲面：x2y2z21、椭球面：2?2?2?1abcx2y22、抛物面：??z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2?2?2?1abcx2y2z2双叶双曲面：2?2?2?（马鞍面）1abc
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