24. 函数展开成幂级数：
f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?) 余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!25. 一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n! 352n?1xxxsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?26. 欧拉公式：
eix?e?ixeix?e?ixx?x?e?cosx?isinx cos sin
22ix27. 三角级数：
a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。28. 傅立叶级数：
?
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx ????其中???b?1f(x)sinnxdx (n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835 111?2?????24224262正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?21?2?2?2???（相加）6234111?21?2?2?2???（相减）12234f(x)sinnxdx n?1,2,3? f(x)??b??0
2?nsinnx是奇函数2???0f(x)cosnxdx n?0,1,2? f(x)?a0??ancosnx是偶函数2第 11 页 共 13 页
29. 周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2n?1lll?1n?xa?f(x)cosdx (n?0,1,2?)?n?l?ll?其中?l1n?x?b?f(x)sindx (n?1,2,3?)?nl?l?l?
30. 微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法： dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。31. 一阶线性微分方程：
dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx32. 全微分方程：
P(x)dxdx?C)e??P(x)dx
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)
?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。33. 二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次d2ydy ?P(x)?Q(x)y?f(x)，dxdx2f(x)?0时为非齐次第 12 页 共 13 页
34. 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p2?4q?0) 一对共轭复根(p2?4q?0) (*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??2235. 二阶常系数非齐次线性微分方程
y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型
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