高考专题复习资料4 函数与方程
1．函数零点的概念：对于函数y?f(x)，我们把方程f(x)?0的实数根叫做函数y?2．函数零点与方程根的关系：
方程
f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有点?函数y?f(x)有零点.因此判断
f(x)的零点。
一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)?0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)?0，所得实数根就是f(x)的零点 3．函数零点的存在性定理：
如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)?f(b)?0，那么，函数
y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0?(a,b)，使得f(x0)?0，这个x0也就是方程f(x)?0的根。
但要注意：如果函数y?f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间
上的一个零点，却不一定有f(a)?f(b)?0. 注：若f(x)?0或f(x)?0恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】
1.对函数零点的理解及补充
（1）若y?f(x)在x?a处其函数值为0，即f(a)?0，则称a为函数f(x)的零点。 （2）变号零点与不变号零点
①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。 ③若函数f(x)在区间?a,b?上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)?0是f(x)在区间?a,b?内有零点的充分不必要条件。 （3）一般结论：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0的实数根。从图像上看，函数y?f(x)的零
点，就是它图像与x轴交点的横坐标。
（4）更一般的结论：函数F(x)?f(x)?g(x)的零点就是方程f(x)?g(x)的实数根，也就是函数y?与y?g(x)的图像交点的横坐标。
2.函数y?f(x)零点个数（或方程f(x)?0实数根的个数）确定方法
1
f(x)1)代数法：函数y?f(x)的零点?f(x)?0的根;
2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?函数的性质找出零点。
3)注意二次函数的零点个数问题 ??0?y?f(x)有2个零点?f(x)?0有两个不等实根;
f(x)的图象联系起来，并利用
??0?y?f(x)有1个零点?f(x)?0有两个相等实根
??0?y?f(x)无零点?f(x)?0无实根; 对于二次函数在区间?a,b?上的零点个数，要结合图像进行确定
3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。
为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a化为正数，
a?0，ax2?bx?c?0(a?0)恒成立?a?0 （1）ax2?bx?c?0(a?0)恒成立????????0???02a?0?a?b?0；a?0?a?b?0 ax2?bx?c?0的解集为R??ax?bx?c?0的解集为R??（2） 或?或??????0?c?0???0?c?0（3）对于二次函数在区间?a,b?上的最值问题. 4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。
①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小?a·f(r)<0； ②二次方程f(x)=0的两根都大于
???b2?4ac?0,?r???b?r, ;
??2aa?f(r)?0??2
③二次方程f(x)=0
???b2?4ac?0,?b在区间(p，q)内有两根? ?q,?p????2a?a?f(q)?0,???a?f(p)?0;④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根?f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。 5.构造函数解不等式恒成立的问题
（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。
（2）m?f(x)恒成立?m??f(x)?max，m?f(x)恒成立?m??f(x)?（注意等号是否成立）
min（3）m?f(x)有解?m??f(x)?min，m?f(x)有解?m??f(x)?max （4）f(x)?0在区间?a,b?上恒成立??f(x)?在?a,b?上大于0
min6.函数零点个数的确定方法:
①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;②一元n方程最多有n个实数根,一般常用分解因式进行求解;
③指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决; ④利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数.
4)对于函数F(x)?f(x)?g(x)的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。
5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。 7.用二分法求方程的近似解:
(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x),通过不断地把函数y?f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2) 用二分法求方程的近似解的步骤:
①确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?;
3
②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c);
(ⅰ)若f(c)?0,则c就是函数的零点;
(ⅱ) 若f(a)?f(c)?0,则令b?c(此时零点x0?(a,c)); (ⅲ) 若f(c)?f(b)?0,则令a?c(此时零点x0?(c,b));
④判断是否达到精确度?,即a?b??,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步. 例题精讲：
例1.求下列函数的零点. (1) f?x??x3?1; (2) f?x??x
例2.已知函数f(x)?x2?2ax?a2?1的两个零点都在(?2,4)内,求实数a的取值范围.
【例3】函数f(x)?lnx?2x?6的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 【例4】求证方程3
【例5】（1）若方程2ax2?1?0在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是 . （2）已知函数f(x)?3mx?4，若在[?2,0]上存在x0，使f(x0)?0，则实数m的取值范围是 .
函数与方程(一)
1.方程x-
x2?2x?3; (3)f(x)?x3?2x2?x?2
x?1?2?x在(0,1)内必有一个实数根. x?11=0的实数解所在的区间是( ) x4
A.(-∞,-1) B.(-2,2) C.(0,1) D.(1,+∞) 2.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是( ) A.0,2 B.0,? C.0, -? D.2,- ?
3.(2010·合肥)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是( )
?23?A.??,????5? B.?1,????23?C.??,1??5?23??D.???,??
5??4.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表: x y 1 -5 2 2 3 8 4 12 5 -5 6 -10 则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+
1的一个零点.若
1?xx1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 6.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________. 7.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.
8.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.
9.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.
10.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
函数与方程(二)
1.已知函数f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所以零点之和为( ) A．0 B．1 C.2 D． 4
2.设x0是方程lnx?x?4?0的解,则x0属于区间( )
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