21122C15C15C5C32C52C4C23 ?2?2?????2222C20C14C20C14C20C1413314.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格，如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2，如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6，如果三个部件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9.
（1）求仪器的不合格率；
（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大. 解：设B为“仪器不合格”
Ai为“仪器上有i(i?0,1,2,3)个部件不是优质品”
P(BA0）?0，P(BA1）?0.2，P(BA2）?0.6，P(BA3）?0.9 P(A0)?0.8?0.7?0.9?0.504
P(A1)?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.9?0.8?0.7?0.1?0.398
P(A3)?0.2?0.3?0.1?0.006
P(A2)?1?P(A0)?P(A1)?P(A3)?0.092 （1）由全概率公式，有
P(B)??P(Ai)P(BAi)
i?0n?0.504?0?0.398?0.2?0.092?0.6?0.006?0.9?0.1402
（2）由贝叶斯公式，有
P(A0B）?0 P(A1B）?P(A1)P(BA1)P(B)?796 1402552 1402P(A2B）?P(A2)P(BA2)P(B)? 21
P(A3B）?P(A3)P(BA3)P(B)?54 1402由此可知，一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.
第一章复习题(B)
1.填空题
（1）设事件A、B、C相互独立,且 ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?0.5,
P(A?B?C)?9,则P(A)= . 16解：
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C) ?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) P(A)?3[P(A)]2?9 16解方程得
P(A)?13或 44由题意P(A)?0.5 故P(A)?1 41（2）设事件A，B相互独立,且A和B都不发生的概率为，A发生B不发
9生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)= .
解：根据题意设有
P(A?B)?1?P(A?B)?1 9P(AB)?P(BA)
注意到A?AB?AB,B?BA?BA
P(A)?P(AB)?P(AB),P(B)?P(BA)?P(BA) 由P(AB)?P(BA)有P(A)?P(AB)?P(B)?P(BA)
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于是P(A)?P(B)，由事件的独立性及P(A?B)?1?P(A?B)?1得91?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?P2(A)?2P(A)?11?(P(A)?1)2?9解方程得
24或（舍去） 332故P(A)?
3P(A)?
（3）设事件A、B、C,且P(A?B)?0.9,P(A?B?C)?0.97,则
P(AB?C)= . 解：
P(AB?C)?P(AB)?P(ABC)?[1?P（AB）]?[1?P(ABC)]?[1?P(A?B)]?[1?P(A?B?C)]?(1?0.9)?(1?0.970）?0.07
2.选择题
（1）设当事件A与B同时发生时C也发生，则 .
A.P(C)?P(A?B), B.P(C)?P(A)?P(B)?1, C.P(C)?P(A?B), D. P(C)?P(A)?P(B)?1. 解：已知AB?C
P(C)?P(AB)?1?P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?P(A)?P(B)?1?P(AB)?P(A)?P(B)?1故选(D)
解法二：已知AB?C，P(AB)?P(C)
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1?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
?P(A)?P(B)?P(C)于是，P(C)?P(A)?P(B)?1，选(D)
（2）设0?P(B)?1，P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B)，则下列结论正确的是 .
A.P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B), B.P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B), C.P(A1?A2)?P(A1|B)?P(A2|B), D. P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2). 解：依题意设0?P(B)?1
P(AB)?P(AB) P(B)P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B)即P(A1B?A2B)P(A1B)P(A2B)
??P(B)P(B)P(B)从而P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B) 故选B
（3）设事件A、B、C两两相互独立,则A、B、C相互独立的充要条件为 ,
A.A与BC独立. B.AB与A?C独立. C.AB与AC独立. D.A?B与A?C独立. 解：应该选择A，证明如下：
必要性：设A、B、C相互独立的事件 则有P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(BC) 故事件A与BC独立，从而必要性成立。
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充分性：设A、B、C两两相互独立,且A与BC独立. 于是有
P(AB)?P(A)P(B)P(BC)?P(B)P(C)P(AC)?P(A)P(C)P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C)
由定义知A、B、C相互独立，从而充分性成立。
3.设A、B独立，AB?D，AB?D，证明：P(AD)?P(A)P(D). 证明：因为AB?D，AB?D，D?A?B
AD?AB?DB
P(AD)?P(AB)?P(DB)而P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(DB)
P(DB)?P(A)P(DB)
?P(AD)?P(AB)?P(DB) ?P(A)P(B)?P(DB) ?P(A)P(DB)?P(A)P(DB)
?P(A)[P(DB)?P(DB)]?P(A)P(D)
于是 P(AD)?P(A)P(D)
4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.
解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
A表示“4只鞋子均不成双”
4样本点的总数为P10，
A的样本点为10?8?6?4（因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法，
第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法，第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法）
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