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高二年级第三次月考试题
数学答案
一、选择题：
DCBCD BADCD AA 二、填空题：
13.-3 14.30 15. （2）（3）（4） 16. ?2?sin2,1?cos2三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余每个小题12分，共70分） 17.解：（1）f(x)?m?n?cos2?x?sin2?x?23cos?x?sin?x ?
?cos2?x?3sin2?x?2sin(2?x?T????,即?, 222?2?6)???0?函数f(x)的周期T?2???,由题意可2??知解得0???1,即?的取值范围是{?|0???1} ????????????6分 （2）由（Ⅰ）可知?的最大值为1，
?f(x)?2sin(2x???1)?f(A)?1?sin(2A?)?，而662?6?2A??6?13?5???2A????A? 6663b2?c2?a222?b?c?bc?3,又b?c?3 由余弦定理知cosA? 2bc联立解得??b?2?b?113或? ?S?ABC?bcsinA? ???????12分
22?c?1?c?218.解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同
学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，由于事件A?B互斥，且
1112C32C2C44C3C1P(A)?22?，P(B)?242?
C4C615C4C65
∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为
P(A?B)?P(A)?P(B)?417????????5分 ??15515
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
1731
P(X?0)?,P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?5151030京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/
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∴X的分布列为
X 0 1 2 3 P 1 57 153 101 30????10分
∴X的数学期望EX?7317?2??3?? ??????????12分 151030619.解：（Ⅰ）在?ABD中，
BD2?AB2?AD2?2AB?ADcos450?4,?BD?2， 易得AB?BD，
?面ABD?面BDC ?AB?面BDC ?AB?DC ?4分
（Ⅱ）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，
建立如图空间直角坐标系.
z
A D B
则D（0， 0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
C y x
?????????设平面ABC的法向量为n?(x,y,z)，而BA?(0,0,2),BC?(?2,2,0)，
????????2z?0?n?BA?0由?????得：?，取n?(1,1,0) . ??2x?2y?0???n?BC?0??????????再设平面DAC的法向量为m?(x,y,z)，而DA?(2,0,2),DC?(0,2,0)，
??????????2x?2z?0?m?DA?0由???????得：?，取m?(1,0,?1)，
?2y?0??m?DC?0??????n?m1???，所以二面角B-AC-D的大小是600 ???????8分 所以cos?n,m???|n|?|m|2（Ⅲ）由于?ABC,?ADC均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AC中点，
又AC?23，所以球半径R?43，得VABCD??R3?43? . ???????12分
3220．解：（I）由椭圆方程得A?a,0?,B0,2，所以抛物线C1的方程可设为y?4ax，抛物线C2??京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/
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的方程为x?42y。……1分
2?y2?4ax??由?x2?42y，得a?4,P8,82，……3分 ???y?2x??x2y2所以椭圆C的方程为??1,抛物线C1的方程为y2?16x,抛物线C2的方程为
162x2?42y…5分
（II）由题设知，直线OP的斜率为2，所以直线l的斜率为?2，可设直线l的方程为2y??2x?b2，由
?x2y2??1??162??y??2x?b??2，消去
y，并整理，得
5x2?82bx??8b2?16??0 ……6分
因为动直线l与椭圆C交于不同的两点,所以??128b2?208b2?16?0,解得
???10?b?10…7分
82b8b2?16,x1x2?设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则x1?x2?， 55????b2?822所以y1y2????2x1?b?????2x2?b???5……8分
????所
以
?????????QM?QN?x1?2y?x????y??xx??x?x??yy??9b2?5b?
?????????838因为?10?b?10，所以当b??时，QM?QN取得最小值，最小值为?……12分
99
a2?212ax(x?)?a'2a. ?2x?a?21解：f(x)?2111?ax?ax22京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/
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1a2?2（Ⅰ）由已知得：f'()?0,且?0, ?a2?a?2?0,?a?0.?a?2.??3分
22aa2?21a2?a?2(a?2)(a?1)（Ⅱ）当0?a?2时，?????0,
2a22a2a11a2?2a2?2?0. ??,故当x?时，x?22a22a2ax?1??0,?f'(x)?0,故f(x)在?,???上是增函数. ????7分 又
1?ax?2?11（Ⅲ）当a??1,2?时，由(2)知，f(x)在?1,2?上的最小值为f(1)?ln(?a)?1?a,故问
22112题等价于：对任意的a??1,2?，不等式ln(?a)?1?a?m(a?1)?0恒成立.
22112记g(a)?ln(?a)?1?a?m(a?1),(1?a?2)．
221a'?1?2ma?则g(a)??2ma?(1?2m)?, 1?a1?a2上递减，此时，当m?0时，2ma?1?2m?0?区)间?1,?,'g(a?)0?,g在a(g(a)?g(1?) 0?m?0时不可能使g(a)?0恒成立，故必有m?0,
2ma?1??g'(a)?a?(?1). ??1?a?2m?1?1?(1,min?1?)上递减，在此区间上，有g(a)?g(1)?0,g(a)?1?1,若可知在区间?2,2m?2m?1?1?1,此时g'(a)?0,g(a)在(1, 2) 上递增，且恒有与g(a)?0恒成立矛盾，故2mg(a)?g(1)?0,满足题设要求， ?m?011???1,即m?，即实数m的取值范围为[,??).?????12分
?1?144??2m22.（Ⅰ）证明：?PE切⊙O于点E，??A??BEP ?PC平分??A??CPA??BEP??DPE
??ECD??A??CPA,?EDC??BEP??DPE，
??ECD??EDC,?EC?ED ??????5分
（Ⅱ）证明：??PDB??EDC,?EDC??ECD,?PDB??PCE
??BPD??EPC,??PBD∽?PEC，?PEPC ?PBPD同理?PDE∽?PCA，??PECA ?PBDEPCCA ?PDDE?DE?CE,?CAPE ??????10分 ?CEPB京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/
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?x=cos?22
23.解：（Ⅰ）由?得x＋y＝1，
?y=sin?π
又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－3sinθ，
3∴ρ＝ρcosθ－3ρsinθ.
13222
∴x＋y－x＋3y＝0，即(x?)2?(y?)?1 ??????5分
22132（Ⅱ）圆心距d?(0?)2?(0?)?1?2，得两圆相交
222
?x＋y＝1
由?2
?x＋y2－x＋3y＝0
22
13得，A(1,0)，B(?,?)，
22132∴ |AB|?(1+)2+(0+)=3 ??????10分
22x?2,??3,?24. 【答案】解:(I)f(x)?|x?2|?|x?5|??2x?7,2?x?5,
?3,x?5.?当2?x?5时,?3?2x?7?3. 所以?3?f(x)?3.
(II)由(I)可知,当x?2时,f(x)?x?8x?15无解;
当2?x?5时,f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?5}; 当x?5时,f(x)?x?8x?15的解集为{x|5?x?6}. 综上,不等式f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?6}.
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