由质量守恒原理出发，直接推导出Z坐标系中的连续方程。
??u?v?w?d????????0 ??dt??x?y?z?【难易度】：C 【参考分】：10 【知识点】：2.3 【答案】：
在Z坐标系中令 ?m???????x?y?z 由于物质体积元在运动中质量守恒，因此有
1d??m??0
?mdt将?m???????x?y?z代入上式，即可推得 105．
??u?v?w?d????????0 ??dt??x?y?z?如果大气是正压的，证明静力平衡条件下地转风不随高度变化。 【难易度】：B 【参考分】：10 【知识点】：5.3 【答案】：
??1p坐标系中地转风表达式 Vg?????k
f1???上式对p微分有????k ?pf?p
利用静力平衡方程
??Vg??RTR???可得??k?(?T)p ?pp?lnpf??Vg若大气是正压的，等压面与等温面重合，则(?T)p?0，
由此证得106．
??Vg?p?0，故地转风不随高度变化。
如果大气是正压的，证明静力平衡条件下水平气压梯度力不随高度变化。
【难易度】：B 【参考分】：10 【知识点】：5.3 【答案】：
证明：p坐标系中水平气压梯度力的表达式为 ??? 上式对p微分有
?(???)?? ????p?p利用静力平衡方程
??RT?(???)R可得???(?T)p ?pp?pp若大气是正压的，等压面与等温面重合，则(?T)p?0，
由此证得107．
P坐标系中的水平运动方程为
?(???)?0，即水平气压梯度力不随高度变化。 ?p?u?u?u????u?u?v?????fv???t?x?y?p?x??v?v?v?v????u?v?????fu??x?y?p?y??t推导涡度方程，并说明涡度方程中各项的物理意义 【难易度】：C 【参考分】：10 【知识点】：6.6 【答案】：
??p???p??u???x?t???f??v???y????p???u???p????p???v??????????y?????v??y????p???p?f????x??p??p???p??p?? ??????u?????v??????y???p???x??p???p???p???上式右端第一、二两项为相对涡度平流项，第三项为相对涡度的铅直输送项，第四项为散度作用项，第五项为?效应项，第六项为扭转项。 *108．
P坐标系中的水平运动方程为
?u?u?u????u?u?v?????fv???t?x?y?p?x??v?v?v?v????u?v?????fu??x?y?p?y??t（1）推导涡度方程。
（2）针对中纬度大尺度运动，对涡度方程进行尺度分析，写出取一级近似后的简化结果。 （3）证明正压水平无辐散条件下，绝对涡度守衡。 【难易度】：B 【参考分】：30 【知识点】：6.6 【答案】：
（1）推导涡度方程。
??p???p??u???x?t????u???p????p???v????????y?????v???y?????p???p?f????x??p??p???p??p????????u?????v???f??v???y???????y???p???x??p???p???p??p???
（2）针对中纬度大尺度运动，对涡度方程进行尺度分析，写出取零级近似后的简化结果。
dh???f???u?v? ??f?????dt??x?y?式中
dh?????u?v dt?t?x?y（3）证明正压水平无辐散条件下，绝对涡度守衡。
正压水平无辐散条件下，由（2）的结果得109．
矢量形式的运动方程为
dh???f??0，即绝对涡度守衡。
dt?????dV31???3p?2??V3?g?F dt?推导单位质量的动能方程，并证明大气运动不可能在严格的地转平衡和静力平衡条件下进行。 【难易度】：C 【参考分】：10 【知识点】：7.2 【答案】：
??dK1?单位质量的动能方程为 ??V3??3P?gw?F?V3
dt?假设大气运动满足地转平衡和静力平衡，由于
?1?p?1?1???V3??3p?gw??Vg??p?w??g?0 ???????z???dK?F?V3 ，这表明个别空气微团在运动中因克服摩擦力作功其动能动能方程简化为 dt最终要被消耗掉，所以，考虑摩擦力时，从能量的观点来看，大气运动不可能在严格的地转平衡和静力平衡条件下进行。 110．
证明在静力平衡条件下，无限高气柱中的位能与内能之比为
?*R?*ICv，其中?为位能，
*I*为内能。
【难易度】：A 【参考分】：10 【知识点】：7.3 【答案】：
自海平面延伸至大气上界的水平截面积为A的铅直空气柱中的位能为
????????gzdz??dA
A??0?取静力平衡近似后则有
p0?????zdp???dA ?A?0?其中p0为海平面气压。取z??时zp?0为上边界条件，将上式分部积分后可得
??????pdz???dA ?A?0?利用状态方程p??RT，上式又可改写为
?R???????RTdz?dA??A?0?cV????cvTdz??dA ?A???0?而该气柱中内能为
?I?????cvTdz???dA ?A?0?所以有 ??*111．
?R?I cv浅水方程组为
??u?u?u?h?u?v?fv??g??t?x?y?x??v?v?h??v?u?v?fu??g ??x?y?y??t??h?u?h?v?h?h(?u??v)?0??t?x?y?x?y?(1)设基本状态是静止的，将以上方程组线性化。 (2)取f?f0，设扰动与y无关，求波解。 【难易度】：B 【参考分】：20 【知识点】：9.4 【答案】：
(1)线性扰动线性方程组为
?????u?fv???g?h??t?x??h???v? ?fu??g??t?y???u??v????h??H0???t??x??y???0???(2)重力惯性外波的相速和群速分别为
212??f0???c????gH0?2???kk??? ?gH0?c?????2212?g?kgH?fk00??? *112．