图（6）
简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于?ABC是等边三角形，所以可以将?ABP绕点A旋转60?到?ACP?的位置（用到等量代换），连结PP?，则
?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，则?APP?是等边三角形，即PP??PA，
在?CPP?中，因为PP??PC?P?C，所以PA?PB?PC．
说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法
题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．
例4 如图，在?ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AE?EF． 说明线段AC与BF相等的理由．
图（7）
简析： 由于AD是?ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DG?AD，连结BG，则 在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)， 则
AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE， 又因为?AFE??BFG，
所以?BFG??G， BF?BG，即AC?BF．
说明 ：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而
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遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例5 如图，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，如果BD?4，DC?3， 求
?ABC的面积．
图（8）
解：以AB为轴将?ABD翻转180o，得到与它全等的?ABE，以AC为轴将?ADC翻转180o，得到 与它全等的?AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方
t?BGC形，设它的边长为?，则BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,
解得??8，则AD?6，所以S?ABC?5?8?20． 2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．
4．2由角平分线构造全等三角形
不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．
例6 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使点
B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD?4，BC?10．求BE的长．
图（9） 图（10）
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解：由题意得
根据翻折重合，得?BFE??DFE，∴ DE?BE
在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴ ?EDB??EBD?45? ∴ ?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，
过A作BC?AG，交BC于G，如图（10），四边形AGED是矩形∴ GE?AD?4 在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG ∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴ BG?CG∴CE?∴BE?6．
说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.
1?BC?AD??4 24．3添加辅助线构造全等三角形
在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。针对这样的题型我们需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.
在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题体现了添加辅助线的方法是从简单到复杂，从特殊到一般，研究线段的长短关系是体现了从不相等到相等的递进关系[2].
注意：添加的辅助线都是用虚线表示. 4．3．1直接证明线段（角）相等
例7 如图，已知AB?AD，CB?CD，(1)求证：?B??D；(2)若AE?AF，试猜想CE与CF的大小关系.
如图（11）
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简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题要证明?B??D．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结AC后，以AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看出?ABC??ADC，进而就证明?B??D.如果在学习等腰三角形的知识后还可以连结BD，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到
?B??D更加简单.
第（2）小问猜想CF?CE，在连结AC证明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再证明?CAE??CAF，进而证明EC?FC.
如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结AC，证明?ABC??ADC，进而?B??D.
BD??CDB方法2添加辅助线连接BD，因为AB?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，
?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又因为BE?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，进而CE?CF.
小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.特别是例7(1)中如果B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫. 4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等
例8 如图，已知AD是?ABC的中线，且BE交AC于点E，交AD于点F，且
EA?EF.求证：AC?BF.
图（12）
简析：要证AC?BF，我们可以把线段AC、BF转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有AC、BF的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段
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所对的角相等就可以了.
BF，简析：思路1 以?ACD为基础三角形，来转移线段AC、使这两条线段在?BFH中.法一：延长AD到H，使HD?AD，连结BH，再证明?ACD和?HBD全等，可得
AC?BH.通过证明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.
图（13）
证明：添加辅助线延长AD到H，使HD?AD，连结BH ∵ D是BC中点 ∴ BD?CD
在△?ACD和?BDH中
?DH?AD???B DH ??ADC?BD?CD? ∴ ?ACD??BDH(SAS) ∴ AC?BH，?DHB??HFB ∵ AE?EF ∴ ?EAH??EFA 又∵?BFH??AFE ∴ BH?BF ∴ AC?BF
法二：可以过点B作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明?ACD和?BDH全等.
小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线”法得到两个全等三
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