广东北江中学高二数学补充讲义
选修4—4 第二讲 参数方程
问题1：弹道曲线
我们在观看革命历史战争影片时,经常见到我人民解放军炮击敌人阵地的场景.从物理学角度来说, 炮弹飞行的弹道轨迹是斜抛运动.现已知一门火炮发出炮弹的初速度v0米/秒,发射的仰角为?(设重力加速度为g)
问:
(1)炮弹飞行的弹道曲线方程是怎样的?是哪种类型的曲线? (2)当?为多少度时, 炮弹飞行的距离最远? 点拨提示:
(1) 斜抛运动可分解成一个质点M在水平方向作匀速直线运动和垂直方向作竖直上抛运动,建立直角坐标系后,按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式可得弹道曲线方程
x?v0tcos????12 (t为参数) 消去t可得抛物线方程; y?ytsin??gt0?2?(2)由二次函数的性质可求得???4满足条件.
问题2.如何将参数方程化为普通方程？
普通方程和参数方程是曲线方程的两种不同表达方式.为了判断曲线的类型或研究曲线的几何性质,需要将参数方程化为普通方程.
常见的消参数的方法有代入消元法、三角消元法两种.
代入消元法一般适用 一般变量的参数方程消去参数 三角消元法一般适用 以角为参数的参数方程消去参数.
问题3.常用曲线的参数方程
?x?a?rcos?,(?为参数)，参数?的1．圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程为??y?b?rsin?.222几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度．
?x?acos?,x2y22．椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程为?(?为参数)．
y?bsin?.ab??x?asec?,x2y23．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的参数方程为?(?为参数)
y?btan?.ab??x?2pt2,(t为参数)． 4．抛物线y?2px(p?0)的参数方程?y?2pt.?2 参数方程第 1 页 共 9 页
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5．过点P(x0,y0)斜率为
?x?x0?atb的直线的参数方程为?(t为参数);过点P(x0,y0),a?y?y0?bt?x?x0?tcos?, (t为参数，此时 |t|表示参数t对应的点倾斜角为?的直线的参数方程为?y?y?tsin?.0?M（x,y）到定点M0(x0,y0)的距离）．
运用参数及其几何意义解决有关问题，计算较简单．
题1: 下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中,与方程xy?1所表示的曲线相同的是
?x?t?A.?1 B. ?y?t??x?t?1 C. ?y??t??x?cost D. ??y?sect?x?tant ??y?cott答案: 用三角消元法,注意到曲线xy?1中变量的范围都是(??,0)?(0,??),选D.
?x?t题2.曲线C:? (t为参数)所对应的普通方程为 2y?3t?1?答案: 用代入消元法得: y?3x2?1
?x?3?sin?题3. 参数方程?(?为参数) 表示是曲线C是什么?
y?3?解: ?sin??1,?2?x?3,?y?3(2?x?3)故曲线C是以y?3(2?x?3)为方程的线段
名师讲析: 要知道参数方程所表示的曲线是什么,可通过消去参数得到普通方程,
再根据所学知识进行判断,但要注意消参数的过程中变量x,y的取值范围与原来保持一致. 尤其是以角为自变量,含正弦函数和余弦函数的参数方程更要关注.
?x?1?t?题4.方程?1(t为参数)所代表的曲线是什么?它的中心坐标是怎样的?
y??1??t?解: 将t?1?x代入y??1?整理得y?1?中心坐标为(?1,?1)
名师讲析: 我们在研究参数方程所代表的曲线的几何性质时,往往先将参数方程化为普通方
程求解.本题使用的是代入消元法.
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1t1知所代表的曲线是双曲线. x?1广东北江中学高二数学补充讲义
题5: 将参数方程??x?sin??cos??y?sin?cos?(?为参数)化为普通方程.
22解: x?1?2sin?cos? 故x2?1?2y即x?2(y?)12(?2?x?2)
名师讲析: 用三角消元法消参时经常要利用同角关系式和倍角公式.
题型1: 用代入消元法将参数方程化为普通方程的基本方法
?x?t2题6.已知曲线C的参数方程为?(其中参数t?R）
?y?2t(1) 求曲线C的普通方程,并说明是什么类型的曲线? (2) 求点P(1,0)到曲线C上的点的最短距离.
审题指导:用代入消元潜能消参后可得曲线C的普通方程,可判断是什么曲线.再据曲线C的几何特征使问题获解. 解(1)将t?线.
(2)据抛物线的性质知,PO?1为P点曲线C上的点的最短距离. 题7把方程(x?1)2?(y?2)2?4化为参数方程． [解析]原方程可化为(y22代入x?t整理得:y?4x,故曲线C是以原点为顶点,P(1,0)为焦点的抛物2x?12y?22)?()?1,联想到三角函数平方关系：22cos2??sin2??1，可令
?x?1?2cos?,x?1y?2?cos?,?sin?，得?(?为参数) 22y?2?2sin?.?题型2: 用三角消元法将参数方程化为普通方程的基本方法
x??2?cos?,（θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点， 题8.. 设P(x，y)是曲线C：???y?sin?(1)将曲线化为普通方程; (2)求
y的取值范围. x2
2
．(1)(x+2)+y=1 (5分)
(2)设y=kx,则kx-y=0
1=∴k=∴?2
|?2k|k?12 (7分)
13,k=? (9分) 333y3 (10分 ??3x3 参数方程第 3 页 共 9 页
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题9.已知曲线C的参数方程为??x?acos? (其中a?b?0,?为参数)
?y?bsin?(1)求曲线C的普通方程
(2) 求曲线C内接矩形面积的最大值.
审题指导:用三角消元潜能消参后可得曲线C的普通方程,可判断是什么曲线.再据曲线C的对称性使问题获解. 解(1)由x?acos??x?cos?……① ay由y?bsin???sin?……②
bx2y2两式的平方和得:2?2?1(a?b?0)
ab(2)方法1:设P(acos?,bsin?)为椭圆上任一点,由椭圆的对称性知
S?4acos??bsin??2absin2??2ab
故Smax?2ab
方法2: 设P(x0,y0)为椭圆上第一象限弧上任一点,由椭圆的对称性知
22x0y0?2222y022222x022ab)2?4a2b2 ?S?16x0y0?16ab?2?2?16ab(ab2S?4x0y0故当
x0y02时, Smax?2ab ??ab2题型3:直线的参数方程的应用
2题10. 已知直线l:x?y?1?0与抛物线x??8y交于P，Q两点，求线段PQ的长和点T
（1，-2）到Ｐ、Ｑ两点的距离之积． [解析]因为直线l过定点T，且l的倾斜角为
3?，所以它的参数方程是 4?3?2?x?1?tcos,x?1?t,????42(t为参数)，即?(t为参数)， ?3??y??2?tsin?y??2?2t,,??4?2?把它代入抛物线的方程，整理得t?62t?30?0，
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设方程的两根为t1,t2，由韦达定理，得t1?t2??62,t1t2??30, |PQ|=|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?72?120?192?83，
|TP|·|TQ|=|t1|?|t2|?30．
[方法技巧]要求线段PQ的长，可用弦长公式得|PQ|?(1?k2)[(x1?x2)?4x1x2],或者
先求出P，Q两点的坐标，再求解，但这样解题运算量比较大，如果考虑直线的参数方程，和韦达定理，则可获得较快捷的解法如下．
题11.过点P(10,0)作倾斜角为?的直线与曲线x2?12y2?1交于点M,N， 2求PM?PN的值及相应的?的值
?10?tcos??x?(t为参数)，代入曲线并整理得 解：设直线为?2?y?tsin??(1?sin2?)t2?(10cos?)t?3?0 232则PM?PN?t1t2? 1?sin2??3?所以当sin2??1时，即??，PM?PN的最小值为，此时??
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题12.已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？ 解：建立坐标系得椭圆如解二， MN所在直线的参数方程为
Y
?x??22?tcos?
(t是参数)代入椭圆方程得 ? M y?tsin?? α A1 F1 O F2 A X (cos2??9sin2?)t2?(42cos?)t?1?0.
N
设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，
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