广东北江中学高二数学补充讲义
42cos??1,tt?.12cos2??9sin2?cos2??9sin2?
6|MN|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?.22cos??9sin?t1?t2??|MN|?6?2.
9?8cos2?解得cos???所以当??
2?5?.???或??. 266?5?或??时，|MN|等于短轴的长 66《参数方程》练习
2??x?3t?21. 曲线的参数方程为? (t为参数,0≤t≤5)，则曲线是： 2??y?t?1(A)线段 (B)双曲线的一支 (C)圆弧 (D)射线 答案:A
??x?2?t2. 参数方程?( t为参数)表示的曲线是
2??y?3?4?tA.半圆 B.圆 C.双曲线 D.椭圆
22正确解答: 将t?x?2代入y?3?4?t2并整理得:(x?2)?(y?3)?4
又y?3知曲线C为半圆.
3.将参数方程??x?asec?(a?0,b?0,?为参数)化为普通方程为
?y?btan? 解: 由x?asec??x?sec?……① ay由y?btan???tan?……②
bx2y2两式的平方和差得:2?2?1(a?0,b?0)
ab 参数方程第 6 页 共 9 页
广东北江中学高二数学补充讲义
4. 曲线C的参数方程为??x?2cos?(?为参数,)，一条直线:3x?4y?9?0与曲线C的位
?y?2sin?置关系是
A.相切 B.相交 C.相离 D.相交但不过中心 答案:D
t1?t??x?2?2(t为参数)化为普通方程为 5 将参数方程?t?1?t??y?2?2112t?21?t1t1?t1解:y?1?t?t?1?tt?(2?2)?x
222?22221?22t?,当且仅当取等号 2t21故所求的普通方程是:y?x(x?22)
2但x?2?t6.已知圆C的方程为:x2?y2?4rxcos??4rysin??3r2?0(r?0) (1)求圆心坐标与半径
(2)当?为参数时,求圆心C的轨迹方程; (3) 当r为参数时,证明圆心C在一直线上.
解(1): 配方得:(x?2rcos?)2?(y?2rsin?)2?r2 故圆心C(2rcos?.2rsin?) 半径为r.
?x?2rcos?(2)由?(?为参数)消去?得圆心的轨迹方程是:x2?y2?(2r)2
?y?2rsin?(3)由??x?2rcos?(r为参数)消去r得:y?x?tan?
?y?2rsin?故点C在直线y?x?tan?上.
?， 6（1）写出直线l的参数方程 （2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积
???3x?1?tcosx?1?t????62解：（1）直线的参数方程为?，即?
?1?y?1?tsin?y?1?t??6??27.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角?? 参数方程第 7 页 共 9 页
广东北江中学高二数学补充讲义
?3x?1?t??2 （2）把直线?代入x2?y2?4 ?y?1?1t??2321t)?(1?t)2?4,t2?(3?1)t?2?0 得(1?22t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2
x2?y2?1上求一点P，使P到直线 l：x-y+4=0的距离最小． 8.在椭圆8[解析]椭圆的参数方程为??x?22cos?,.设点P（22cos?,sin?），则P到l的距离
?y?sin?..为d=
|22cos??sin??4|2?|3cos(???)?4|2,当cos(???)?1时，d取得最大值最
大．dmax?9. 过点P(8172,此时有????2k?,k?Z．所求的P（,）．
3321022,0)作倾斜角为?的直线与曲线x?2y?1相交于M,N两点，求2PM?PN的最小值及相应的?值.
?10x??tcos??22解：设直线方程为?(t为参数)，代入x?2y?1，得 2?y?tsin??(1?sin2?)t2?(10cos?)t?3?0. 2设M、N对应的参数为t1,t2，则
PM?PN?t1t2?3. 22(1?sin?)∵直线与曲线相交，
31(1?sin2?)?0，即sin2??， 2416?5?2所以当sin??时，PM?PN有最小值，此时??或.
4566∴??(10cos?)?4?2
10过曲线C:??x?acos? (其中a?b?0,?为参数)上动点P引圆
y?bsin?? 参数方程第 8 页 共 9 页
广东北江中学高二数学补充讲义
x2?y2?b2的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,直线AB与X,Y轴分别交于M,N
求S?MON的最小值.
x2y2解:消参得: 2?2?1(a?b?0)知曲线是椭圆
ab设P(acos?,bsin?)为椭圆上任一点,由P点确定的圆切点弦AB的方程是
b2b ,ON?acos??x?bsin??y?b故OM?acos?sin?2则S?MON
b3b3??(S?MON)min? asin2?a 参数方程第 9 页 共 9 页