第六章 不定积分
第一节 不定积分的概念
正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法，我们已经知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数，提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等，本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.
一、原函数与不定积分
定义6-1 设函数f与F在区间I上都有定义.若
F?(x)?f(x),x?I,
则称F为f在区间I上的一个原函数. 例如
112x是x在(??,??)上的一个原函数，因为(x2)??x；又如sinx与sinx?1都是
22cosx在(??,??)上的原函数，因为(sinx)??(sinx?1)??cosx.如果这些简单的例子都可
以从基本求导公式反推而得的话，那么
1F(x)?xarctanx?ln(1?x2)是f(x)?arctanx
2的一个原函数，就不那样明显了.事实上，研究原函数必须解决下面两个重要问题：
1. 满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存在，是否唯一? 2．若已知某个函数的原函数存在，又怎样把它求出来?
关于第一个问题，我们用下面两个定理来回答；至于第二个问题，其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法．
定理6-1 若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F,即F?(x)?f(x),x?I.
由于初等函数在其定义区间上为连续函数，因此每个初等函数在其定义区间上都有原函数(只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数)．当然，一个函数如果存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数． 定理6-2 设F是f在区间I上的一个原函数，则
① F?C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；
② f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数． 证明 ① 这是因为[F(x)?C]??F?(x)?f(x),x?I.
② 设F和G是f在I上的任意两个原函数，则有
[F(x)?G(x?)?]?(x?)?G(x F?)f(?x)f?(x)?0x,I根据第五章拉格朗日中值定理的推论，知道
F(x)?G(x)?C,x?I.
定义6-2 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记作：
其中称
?f(x)dx, （1）
?为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量．
尽管记号(1)中各个部分都有其特定的名称，但在使用时必须把它们看作一整体． 由定义6-2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{F?C}，其中C是任意常数．为方便起见，写作
?f(x)dx?F(x)?C. （2）
[?f(x)dx]??[F(x)?C]??f(x), （3） d?f(x)dx?d[F(x)?C]?f(x)dx. （4）
这时又称C为积分常数，它可取任意实数值．于是又有
按照写法(2)，本节开头所举的几个例子可写作
13x?C, 31sin2xdx??cos2x?C, ?21arctanxdx?xarctanx?ln(1?x2)?C. ?22x?dx?此外，一个函数“存在不定积分”与“存在原函数”是等同的说法．
不定积分的几何意义： 若F是f的一个原函数，则称y?F(x)的图像为f的一条积分曲线．（如图6-1）于是，f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族．显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行．
图6-1
在求原函数的具体问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件它由具体问题所规定)的原函数，它就是积分曲线族中通过点F(x0)?y0(称为初始条件，
例如，质点作匀加速直线运动时，a(t)?v?(t)?a,则 (x0,y0)的那一条积分曲线．
v(t)??adt?at?C.
若已知v?t0??v0，代入上式后确定积分常数C?v0?at0于是就有
v(t)?a(t?t0)?v0
又因s?(t)?v(t)所以又有
s(t)??[a(t?t0)?v0]dt
?1a(t?t0)2?v0t?C1. 2若已知s(t0)?s0，则C1?so?v0t0代入上式得到 s(t)?1a(t?t0)2?v0(t?t0)?s0 2二、基本积分表
怎样求原函数?读者很快就会发现这要比求导数困难得多．原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性，即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数厂，而没有指出怎样由厂求出它的原函数的具体形式和途径因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探．
首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：
1.0dx?C. 2．?1dx??dx?x?C.?
x??13．?xdx??C(???1,x?0).
??1?4．
1?xdx?ln|x|?C(x?0).
xx5．edx?e?C.
?ax6．?adx??C(a?0,a?1).
lnax7．cos?xdx???1?sin?x?C(??0).
8．sinaxdx??1cosax?C(a?0). a29．secxdx?tanx?C.
?210．cscxdx??cotx?C.
?11. secx?tanxdx?secx?C. 12. cscx?cotxdx??cscx?C.
??13.
?dx1?x2?arcsinx?C??arccosx?C1.
14.
dx?1?x2?arctanx?C??arccotx?C1.
上列基本积分公式，必须牢牢记住，因为其他函数的不定积分经运算变形后，最后归为这些基本不定积分，当然，仅有这些基本公式是不够用的，即使像lnx,tanx,cotx,secx,
cscx,arcsinx,arctanx这样一些基本初等函数，现在还不知道怎样去求得它们的原函数，
所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则，并逐步扩充不定积分公式. 最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则：
定理6-3 若函数f与g在区间I上都存在原函数，则k1f?k2g在Ik1,k2为两个任意常数，上也存在原函数，且当k1和k2不同时为零时有
?[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1?f(x)dx?k2?g(x)dx. (5)
证明 这是因为
[k1?f(x)dx?k2?g(x)dx]'?k1(?f(x)dx)'?k2(?g(x)dx)'
?k1f(x)?k2g(x)
线性法则(5)的一般形式为
?(?kf(x))dx??k?f(x)dx. (6)
iiiii=1i=1nn根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分. 例1 p(x)?a0xn?a1xn?1?L?an?1x?an
?p(x)dx?a0n?1a1nax?x?L?n?1x2?anx?C. n?1n2x4?12例2 ?2dx??(x2?1?2)dx
x?1x?1?13x?x?2arctanx?C. 3dxcos2x?sin2x例3 ??dx.
cos2xsin2x?cos2xsin2x??(csc2x?sec2x)dx??cotx?tanx?C.
例4 cos3x?sinxdx??1(sin4x?sin2x)dx 2?111?(?cos4x?cos2x)?C 2421??(cos4x?2cos2x)?C.
8x?x22x?2x例5 (10?10)dx?(10?10?2)dx
????[(102)x?(10?2)x?2]dx
?1(102x?10?2x)?2x?C. 21n10例6 求不定积分|x?1|dx.
解 设
??x?1,x?1, f(x)?|x?1|???1?x,x?1.因为f(x)在(??,??)上连续，所以不定积分
?x?1dx在(??,??)上存在.