22?d?1?t(t?tan) ????dt221?t2?cos?2?1?t2???由于
22tdt?arctan?C t2?33322?arctan(tan)?C.
233tan?2?sin?tan??
1?cos?sec??1u()2?1?2?u?12因此
x2?2x?3,
x?12x2?2x?3I?arctan?C.
33(x?1)[解法二] 若令x?2x?3?x?t,则可解出
2t2?3t2?2t?3x?,dx?dt,
2(t?1)2(t?1)2t2?3?(t2?2t?3)x?2x?3??t?.
2(t?1)2(t?1)2于是所求不定式积分直接化为有理函数的不定积分：
2(t?1)2(t?1)t2?2t?3I??2??dt
t?3?(t2?2t?3)2(t?1)2???2dt2t?3
??2tarctan?C 332x2?2x?3?x?arctan?C.
33注意1 可以证明
x2?2x?3?xx2?2x?3?arctan?arctan?,
333(x?1)所以两种解法所得结果是一致的，此外，上述结果对x?0同样成立.
注意2 相比之下，解法二优于解法一，这是因为它所选择的变换能直接化为有理形式(而解法一通过三次换元才化为有理形式).如果改令
x2?2x?3?x?t,
显然有相同效果——两边各自平方后能消去x项，从而解出x为t的有理函数. 一般地，二次三项式ax?bx?c中若a?0,则可令
22ax2?bx?c?ax?t;
若c?0,还可令
ax2?bx?c?xt?c.
这类变换称为欧拉变换.
二、三角函数的积分法
由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.
?R(sinx,cosx)dx是三角函数有理式的不定积分.一般通过变换t?tan有理函数的不定积分.这是因为
x，可把它化为2xxx2sincos2tan22?2?2t, （8） sinx?21?t2x2x2xsin?cos1?tan222xxxcos2?sin21?tan21?t2222(9) cosx???,2xxx1?tsin2?cos21?tan2222
dx?2dt, （10） 1?t22t1?t22,)dt. 所以?R(sinx,cosx)dx??R(1?t21?t21?t2
例4 求
1?sinx?sinx(1?cosx)dx.
x,将(8)、(9)、(10)代人被积表达式， 2解 令t?tan2t1?sinx21?t2dx??dt 22?sinx(1?cosx)?2t1?t1?t(1?)221?t1?t11??(t?2?)dt
2t1?
1t2?(?2t?ln|t|)?C22 ?1xx1xtan2?tan?ln|tan|?C. 42222x对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味2注意 上面所用的变换t?tan着在任何场合都是简便的. 例5 求
dx?a2sin2x?b2cos2x(ab?0).
dxsec2xd(tanx)?dx?, 解 由于?2222222222??asinx?bcosxatanx?batanx?b故令t?tanx,就有
dxdt??a2sin2x?b2cos2x?a2t2?b2
?1d(at)a?(at)2?b2
?1atarctan?C abb?221aarctan(tanx)?C. abb通常当被积函数是sinx,cosx及sinxcosx的有理式时，采用变换t简便，其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换.
?tanx往往较为
至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积的求法，需要指出的是，通常所说的“求不定积分”,是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来，在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的.
例如e??x2dx,?dxsinx,?dx,?1?k2sin2xdx(0?k2?1)等等， lnxx虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示(这个结论证明起来是非常难的，刘维尔( Liouville)于1835年作出过证明).因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数，在下一章将会知道，这类非初等函数可采用定积分形式来表示.
最后顺便指出，在求不定积分时，还可利用现成的积分表，在积分表中所有 的积分公式是按被积函数分类编排的，人们只要根据被积函数的类型，或经过适 当变形化为表中列出的类型，查阅公式即可，此外，有些计算器(例如TI-92型) 和电脑软件(例如Mathemetica, Maple等)也都具有求不定积分的实用功能，但 对于初学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法.
习题六
1．计算下列不定积分：
1?x2x?23x2?1)dx; (3)?(1)?(3?x)dx; (2)?(dx;
4xx231x2x2(4)?(1?2)xxdx; (5)?dx; (6)?dx;
x1?x21?x2(7)?(2x?3x)2dx; (8)?(1?sinx?cosx)dx; (9)?1?sin2xdx;
x21(10)?tanxdx; (11)?(12)dx; ?(x?1)(x?3)dx; (1?x)1002(13)?1dx. 4sinx2.计算下列积分 （1）
dxdxdx?2x;; （2） （3）?x?a?2?3x2; （4）?edx; ?2?5x（5）
?xdxdxln2x; （7）?dx; ; （6）?dx; （8）?221?xxx(1+x)2?3xdx
（9）
dxdxdx5;sin （10）（11） （12）;;x?x?e?e?xcosxdx; ?xlnxln(lnx)?1?e2x（13）tanxdx; （14）3. 计算下列积分；
?dxdxdx;;（15） （16）?sinx?sin2x?2cos2x?(arcsinx)21?x2
(1)?x231?xdx; (2)?x2dx; (3)?(x?a)(b?x)dx; 2?xx2dxdxdx; (4)?; (5)?2; (6)?22(1?x2)3/2(x?a2)3/2a?x(7)?xxdx. 2a?x24. 计算下列积分；
(1)?xe?1dx; (2)?x3e?xdx; (3)?xcosxdx; (4)?arctanxdx; (5)?(lnx2)lnx?()dx; (6?x?1x2d x) (7)?arcsinxdx. x25. 计算下列积分；
(1)?(3)?2x?3dxdx; (2)?2;
(x?2)(x?5)(x?4x?4)(x2?4x?5)dxxdx;(4) ?x3?3x?2. x3?16. 计算下列积分；
sin2xdx(1)?; (2)?dx;
2sinx?cosx?5sinx?2cosx(3)?dxdx(i)0???1,(ii)??1; (4?)
21??cosxx?x?x?1(5)?
dx. 2[1?x?1?x)]