§3.2 立体几何中的向量方法 (一>
—— 平行与垂直关系的向量证法
知识点一 求平面的法向量
已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．
解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，
＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·
=0， n·错误!=0.
即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．
【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：
是平面A1D1F的法向量.
DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．
证明
是平面A1D1F
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHrnAILg ＝错误!，错误!＝(－1,0,0>．xHAQX74J0X ∵
·
＝错误!·错误!＝错误!－错误!＝0，LDAYtRyKfE ⊥错误!.又A1D1∩D1F＝D1，Zzz6ZB2Ltk 是平面A1D1F的法向量．
·错误!＝0，∴
∴AE⊥平面A1D1F，∴
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知识点二 利用向量方法证平行关系
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明方法一∵
=
，
∴ B
∴B1C∥A1D，又A1D∴B1C∥面ODC1. 方法二∵=∴又B1C方法三
+，
= +，
面ODC1，
+ +
=
+
.
共面.
ODC1，∴B1C∥面ODC1.
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B1(1,1,1>，C(0,1,0>，
O错误!，C1(0,1,1>，dvzfvkwMI1 ＝(－1,0，－1>， ＝错误!，rqyn14ZNXI ＝错误!.EmxvxOtOco 设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0>， 则
得错误!SixE2yXPq5 令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1>． 又∴
·n＝－1×1＋0×1＋(－1>×(－1>＝0， ⊥n，∴B1C∥平面ODC1.
【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与性表示，三是证明
共线；二是说明
能利用平面ODC1内的两不共线向量线
与平面的法向量垂直．6ewMyirQFL 2 / 9
如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝错误!，EF＝2.kavU42VRUs 求证：AE∥平面DCF.
证明如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.y6v3ALoS89
设AB＝a，BE＝b，CF＝c， 则C(0,0,0>，A(错误!，0，a>，
B(错误!，0,0>，E(错误!，b,0>，F(0，c,0>． 错误!＝(0，b，－a>，
＝(0，b,0>， 所以
·错误!=0，
·
=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.
0YujCfmUCw ＝(错误!，0,0>，M2ub6vSTnP 所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF， 所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1
上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.eUts8ZQVRd 解
建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0>，F(1,2,0>，D1(0,0,2>，B1(2,2,2>．sQsAEJkW5T 设M<2，2，m），则
GMsIasNXkA =<1，1，0），错误!=<0， 1，2），
=<2，2，m2）.
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∵∴∴于是
⊥平面EFB1， ⊥EF，⊥B1E， ·
=0且
·错误!=0，
∴m＝1，
故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.
【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1>用直线与平面垂直的判定定理；(2>证明该直线所在向量与平面的法向量平行．TIrRGchYzg 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A1B.
求证：AC1⊥A1B.
证明建立空间直角坐标系C1—xyz， 设AB＝a，CC1＝b.
则A1错误!，B(0，a，b>，B1(0，a,0>，C(0,0，b>，A错误!，7EqZcWLZNX C1(0,0,0>． 于是
=错误!＝错误!.zvpgeqJ1hk ∵B1C⊥A1B，∴而∴
·⊥
·
＝－错误!＋b2＝0, =<0， a，b），
lzq7IGf02E ＝错误!a2－错误!a2－b2＝错误!－b2＝0NrpoJac3v1
即AC1⊥A1B. 课堂小结：
1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1>建立适当的坐标系．
(2>设平面的法向量为n＝(x，y，z>．
(3>求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1>，b＝(a2，b2，c2>． (4>根据法向量定义建立方程组错误!.1nowfTG4KI (5>解方程组，取其中一解，即得平面的法向量. 2．平行关系的常用证法
＝λ错误!.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说
明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．fjnFLDa5Zo 4 / 9
3．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
一、选择题
1.已知A<3，5，2），B<-1，2，1），把( >
A．(－4，－3,0> B．(－4，－3，－1> C．(－2，－1,0> D．(－2，－2,0> 答案B
＝(－4，－3，－1>．平移后向量的模和方向是不改变的．
2．平面α的一个法向量为(1,2,0>，平面β的一个法向量为(2，－1,0>，则平面α与平面β的位置关系是( >tfnNhnE6e5 A．平行B．相交但不垂直 C．垂直D．不能确定 答案C
解读∵(1,2,0>·(2，－1,0>＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．
3．从点A(2，－1,7>沿向量a＝(8,9，－12>的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( >HbmVN777sL A．(－9，－7,7> B．(18,17，－17> C．(9,7，－7> D．(－14，－19,31> 答案B
解读 ，设B = 按向量a＝(2,1,1>平移后所得的向量是 =λ<8，9， 12），λ>0. 故x2=8λ,y+1=9λ,z7=12λ， 又 4．已知a＝(2,4,5>，b＝(3，x，y>分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( >V7l4jRB8Hs A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝错误! C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝错误! 答案D 解读∵l1∥l2，∴a∥b， 则有错误!＝错误!＝错误!， 解方程得x＝6，y＝错误!. 5 / 9