《线性代数》模拟试卷（一）
一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）
121.行列式
0?121?10第二行第三列元素的代数余子式A23? （ ）
021?1?1021A. ?6 B. 6 C. 0 D. 1
2.设矩阵A???1??2??，B?(?2,1)，则AB??? A. 0 B. ???21???2??42?? C. ??1???4?2?? D. ???21???42??
??3.设A，B，C均为n阶方阵，AB?BA，AC?CA，则ABC? A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA
4.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列正确的是 A.A?B可逆 B.AB可逆 C.A?B可逆 D.kA可逆，其中k为任意常数
5.在下列命题中，正确的是 A.(AB)T?ATBT B.若A?B, 则A?B
C.设A,B为三角矩阵，则A?B也是三角矩阵 D.A2?E2?(A?E)(A?E)
6.n维列向量?1,?2,?,?n是Rn的标准正交基的充分必要条件是 A. 两两正交 B. 均为单位向量
C. 线性无关 D. (?1,?2,?,?Tn)(?1,?2,?,?n)?E
?kx1?2x2?x3?07.设??2x1?kx2 ?0 ，则有非零解的充分必要条件是 ??x1?x2?x3?0《线性代数》模拟试卷（一） 第 1 页 共 9 页
）
）
）
）
）
）
（（（ （（（A. k?3 B. k??2 C.k?3或k??2 D.k?3且k??2 8.向量组?1?(1,0,?1),?2?(0,?1,1),?3?(?1,1,0)的秩是 （ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
2009.设?1，?2，?3是矩阵A??230的三个特征值，则?1?2?3?（ ）
?345A.30 B.15 C.10 D.6
10.设A,B均为同阶的正交矩阵、正定矩阵，则 （ ）
A.A?B仍为正交、正定矩阵 B.A,B的特征值均为±1 C.A,B均为可逆矩阵 D.AB为对称矩阵
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
1231.行列式012的值是________。
0012.若?1,?2线性无关，且?1,?2,?3均可由?1,?2线性表示，则?1,?2,?3线性______。
?A3.若A,B为n阶矩阵，且A?2,B?1，设M???O?OB??，则|-2M|=_____。 ??4.若(A?B)2?A2?2AB?B2，则A和B的关系为________。
5.设?1,?2,?,?s都是非齐次线性方程组AX?b的解，若
k1?1?k2?2???ks?s也是AX?b的解，则常数k1,k2,?,ks满足关系式
______。
6.设A为n阶方阵，且r(A)?n?1，?1,?2是AX?b的两个不同的解，则
AX?O的全部解为___________。
T2TT7.设??(3,1)?R，则它在基?1?(1,2),?2?(2,1)下的坐标为_________。
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8.设矩阵A的三个特征值为1, 2, 4，则A2?3A?4E? 。
229.二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?2x2?4x2x3的秩为_______。
10.二次型f?XTAX经可逆线性变换X?CY化成f?YTBY，则A和B的关系________。
三、计算题（共6小题，每小题9分，共54分）
1?a11.计算行列式D4?111111?a4(ai?0,i?1,2,3,4)。
1111?a2111?a311?x1?x2?2x3?3x4?3?x?2x?3x?4x?3?12342.给定线性方程组? 。讨论a,b为何值时，方
2x?3x?x?x?a234?1??3x1?x2?2x3?bx4?3程组（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多解。并在有无穷多解时求出其全部解（用基础解系表示）。
3.计算下列所给出的向量组的秩，并求出它的极大无关组，且把所有向量用其极大无关组线性表示。
?1?(1,0,1,0),?2?(?2,1,3,?7),?3?(3,?1,0,3),?4?(4,?3,1,?3)。
?101???4.设A??020?，且AX?E?A2?X，求X。
?101????122???100?????5.设矩阵A??21b?，B??0?10?相似，
?2b1??005?????(1)求b；(2)求一正交矩阵P，使P?1AP?PTAP?B。
26.化二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x1x3?2x2并写出所对?4x2x3为标准形，
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应的非奇异线性变换。 四．证明题（本题6分）
设A为s?n阶矩阵，证明：存在一个非零的n?m矩阵B，使得AB?O的 充分必要条件是r(A)?n。
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《线性代数》模拟试卷（一）参考答案
一．单项选择题
A；B；D；B；C；D；C；B；A；C； 二． 填空题
1．1 ； 2．相关 ； 3．22n+1
；4．AB=BA ； 5．?ki?1 ；
si?16．k(?151??2) ；7．(?33)T ； 8．0 ； 9．3 ； 10.
三．计算题
1?a11111．解：
行变换D?a1a200 n??a10a30?a100an41?aai1??列变换i?2a1?11?0a0 2?????00?a44?(1?aai41?11??)a2?a4?(i?2a?)a1a2?a4 1i?1ai2．解：写出增广矩阵化简
??11233??11233?A??12343?????01110?? ?23?11a?? ??3?1?2b3????01?5?5a?6?????0?210b?9?6????11233??11233???01110??1110???? ?00?6?6a?6???0?0116?a???0012b?7?6??0????00b?192a6?0?18??所以（1）当b?19,a?9时，方程组无解；
（2）当b?19,a为任意实数时，方程组有唯一解； （3）当b=19, a=9时，方程组有无穷多解。 当有无穷多解时，增广矩阵
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合同 （或CTAC=B） 。 … ….3’…….3’ .. .….3’ … .….2’
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