?1??0A??0??0?1100211033??1??10??0?11/2??0???00???01100001012??1??0?1/2??0?11/2??0???00???00100001015/2??0?1/2? ?11/2?00?????5/2?x4???所以 非齐次方程组的一般解为X???1/2?，x4是自由未知量。
?1/2?x4??x?4??1?5令x4=0，得一特解?0???2?21?0? 2?T????x4???导出组的一般解为X??0?，x4是自由未知量。
??x4??x??4?令x4=1，得一基础解系?1???10?11?。 ... .….3’
T所以非齐次方程组的全部解为：X??0?k?1， k为任意实数。 .. .….1’ 3．解：将向量按列排成矩阵，利用初等行变换化简为标准阶梯形
4??1?234??1?234??1?23??????01?1?301?1?301?1?3?????? TTTTA?(?1,?2,?3,?4)????????130105?3?300212????????0?73?3??0?73?3??00?4?24???????4??10?1?23???01?1?3???01?????001600????00?00????000?8??03? .. .….6’ ?16?00????1,?2,?3是向量组?1,?2,?3,?4的一个极大无关组，
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??1?1??1?0??2?0??3???0???1???0???2123且? .. .….3’ ??3?0??1?0??2?1??3???4??8??1?3??2?6??34．解：由AX?E?A?X，得(A?E)X?A2?E .. .….2’
2001?001????A?E??010?，A?E?010??1?0，所以A-E可逆。
?100?100??
?X?(A?E)?1(A2?E) ， .. .….3’
?001?????010? ?100???而(A?E)?1
?101??101??100??302?????????2A?E??020??020???010???050? .. .….2’
?101??101??001??203??????????001??302??203????????X??010??050???050? .. .….2’
?100??203??302???????5．解：(1) A,B相似，所以A,B有相同的特征值，所以?1?E?A?0，解得b=2
... .….3’ (2) A的特征值为-1对应的两个线性无关的特征向量为
?1??1,0,?1?,?2?(0,1,?1)T，
T单位正交化?1,?2为?1?(12,0,?12)T,?2?(?T16,26,?16)。
特征值为5对应的特征向量为?1??1,1,1?，单位化为
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?3?(13,13,13 )T。 ... .….4’
?P???1?2?3?T?1??2???0???1?2??126?6161??3?1??为正交矩阵。且 3?1??3? PAP?PAP?B ... .….2’ 6．解： f(x1,x2,x3)?x1?2x1(x2?x3)?(x2?x3)?x2?2x2x3?x3
2?(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2?2x3?1T2222
... .….4’
?y1?x1?x2?x3?222x2?x3，可将二次型化为标准形 f(x1,x2,x3)?y1令 ?y2? ?y2?2y3?y?x3?3所作的可逆线性变换是：
?x1?y1?y2?y2?y3 .….5’ ?x2??x?y3?3
四．证明题
证明：?：把B进行列分块，B?(?1,?2,?,?m)?o。所以至少有一个
?i?o,i?1,?,m，
又因为AB=O，AB?A(?1,?2,?,?m)?(A?1,A?2,?,A?m)?O
即B的列为AX=O的解，所以齐次线性方程组AX=O有非零解。所以r(A) ? ：?r(A)?n,?AX?O有非零解，不妨设?0（为n维向量）为它的一个非零解， 取B?(?0,O,?,O)为n×m阶矩阵，则B非零，且 《线性代数》模拟试卷（一） 第 8 页 共 9 页 AB?A(?0,O,?,O)?(A?0,AO,?,AO)?O . .….3’ 《线性代数》模拟试卷（一） 第 9 页 共 9 页