t?3?) (SI) 1分 ∴ 振动方程 x?52?10?2cos?(44?2?52??10dx (2) 速率 v??sin?(t?3?) (SI) 2分 dt444当t = 0 时，质点在A点 v?dx??52??10?2sin(?3?)?3.93?10?2 m/s 1分 dt44
mFx 3、一质量为m的质点在力F = -?2x的作用下沿x轴运动．求
0其运动的周期．
解：将F = -?2x与F = -kx比较，知质点作简谐振动，
k = ?2． 3分 又 ??
k? 4分 ?mm2??2m 3分 T??
4、一物体同时参与两个同方向的简谐振动： x1?0.04cos2(?t?1?) (SI), x2?0.03cos(2?t??) (SI)
2求此物体的振动方程．
?(t??) 解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 x?Acos2则 A2?A12?A2?2A1A2cos?(2??1) ① 2分 以 A1 = 4 cm，A2 = 3 cm，?2??1???1??1?代入①式，得
22 A?42?32cm?5 cm 3分 A1sin?1?A2sin?2又 ??arctg ②
A1co?s1?A2co?s2 ≈127°≈2.22 rad 3分 ∴ x?0.05cos(2?t?2.22) (SI) 2分
- 21 -
5、在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s内完成48次振动，振幅为5 cm．
(1) 上述的外加拉力是多大？
(2) 当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l，则有mg?k?l, 加拉力F后弹簧又伸长x0，则
F?mg?k(?l?x0)?0
解得 F= kx0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x0又由题给物体振动周期T?
2?(v0/?)2?x0 2分 则 A?x0322? s, 可得角频率 ??, k?m?2 48T∴ F?kA?(4?2m/T2)A?0.44 4N 1分
(2) 平衡位置以下1 cm处： v2?(2?/T)2(A2?x2) 2分
1 EK?mv2?1.07?10?2 J 2分
211 Ep?kx2?(4?2m/T2)x2 = 4.44×10-4 J 1分
22解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A（5 cm），
F?kA 2分
k?m?2?4m?2?2，? = 1.5 Hz 2分 ∴ F = 0.444 N 1分
11 (2) 总能量 E?kA2?FA?1.11?10?2 J 2分
22当x = 1 cm时，x = A/5，Ep占总能量的1/25，EK占24/25． 2分 ∴ EK?(24/25)E?1.07?10?2 J， Ep?E/25?4.44?10?4 J 1分
6、如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m，重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m时撤去力F．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．
m O F x
- 22 -
解：设物体的运动方程为 x?Acos?(t??)．
恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F×0.05 = 0.5 J． 2分 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J，即：
1 kA2?0.5 J， ∴ A = 0.204 m． 2分
2A即振幅． ?2?k/m?4 (rad/s)2
? = 2 rad/s． 2分 按题目所述时刻计时，初相为? = ?．∴ 物体运动方程为 2分
x?0.20c4os2(t??) (SI)． 2分
教师评语 教师签字 月 日 - 23 -
第八章 波动
课 后 作 业
1、一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A = 10 cm，波的角频率? = 7? rad/s.当t = 1.0 s时，x = 10 cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x = 20 cm处的b质点正通过y = 5.0 cm点向y轴正方向运动．设该波波长? >10 cm，求该平面波的表达式．
解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波
的表达式可写成 y?0.1cos7(?t?2?x/???) (SI) t = 1 s时 y?0.1cos7[??2?(0.1/?)??]?0 因此时a质点向y轴负方向运动，故
7??2?(0.1/?)???12? 而此时，b质点正通过y = 0.05 m处向y轴正方向运动，应有
y?0.1cos[7??2?(0.2/?)??]?0.05 且 7??2?(0.2/?)????13? 由①、②两式联立得 ?? = 0.24 m ???17?/3 ∴ 该平面简谐波的表达式为 y?0.1cos[7?t??x0.12?173?] (SI) 或 y?0.1cos[7?t??x0.12?13?] (SI)
y (m) u = 0.08 m/s P x (m) O 0.20 0.40 0.60 -0.04
2、图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式； (2) P处质点的振动方程．
解：(1) O处质点，t = 0 时 y0?Aco?s?0， v0??A?sin??0 所以 ???12?
- 24 -
2分
① 2分
② 2分
1分 1分
2分
2分
又 T??/u? (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分
tx?[?(?)?] (SI) 4分 故波动表达式为 y?0.04cos250.42 (2) P处质点的振动方程为
t0.2?3?[?(?)?]?0.04cos0(.4?t?) (SI) 2分 yP?0.04cos250.422
3、沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s． 求：原点O的振动方程．
y (m)0.5O1ut = 2 s2x (m)
解：由图，? = 2 m， 又 ∵u = 0.5 m/s，∴ ? = 1 /4 Hz， 3分
11T = 4 s．题图中t = 2 s =T．t = 0时，波形比题图中的波形倒退?，见
22图． 2分
此时O点位移y0 = 0（过平衡位置）且朝y轴负方向运动，
1∴ ??? 2分
211∴ y?0.5cos(?t??) (SI) 3分
22
4、一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波的表达式为 y?Acos2?(?t?x/?), 而另一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波的表达式为 y?2Acos2?(?t?x/?) 求：(1) x = ? /4 处介质质点的合振动方程； (2) x = ? /4 处介质质点的速度表达式．
解：(1) x = ? /4处
11(??t??) , y2?2Acos(2??t??) 2分 y1?Acos222∵ y1，y2反相 ∴ 合振动振幅 As?2A?A?A , 且合振动的初相? 和y2的
1初相一样为?． 4分
2
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