b) 平行弦法：???0； c) 平均转角法：13????3。 2) 两圆半径比（在保凸条件下）： a) 垂直平分线法：R1R2?sin3???3???/sin； 442b) 平行弦法：R1R2??sin(?2)/sin(?2)?； c) 平均转角法：R1R2?sin3???3???/sin。 443.2.4 双圆弧拟合算法[8]
图11，设节点A和B为在第i?1个区间?Pi,Pi?1?上的相邻节点，经坐标变换后AB为横轴，A为原点，垂直于AB为纵轴。有向直线gA和gB为拟合曲线?j在A和B上的
有向切线。设C是直线gA和gB的交点，?和?分别是gA和gB与横轴的夹角，逆时 针方向为正;????,???，T为?ABC的内心。
Y 公切点 gA 轨迹弧 C gB P α> 0 ω-θ θ O2 O1 (a) 同向双圆
B β< 0 X
α> 0 A 公切点 轨迹弧 P θ O1 (b) 反向双圆弧
图11 双圆弧曲线
ω=β-α O2 ω-θ β> 0 X B Y C gA gB A T
如果C在横轴的上方，且gA和gB的方向分别与有向直线AC和CB的方向相同，那么，彼此相切且分别以gA和gB为切线的双圆弧公切点轨迹是过三点A，T，B且?ABC内部的圆弧，图11（a）。
如果gB的方向与CB的方向相反，则双圆弧公切点轨迹是过A点和B点且弧度为（???C/2）在AB下方的圆弧，图11（b）。
在当???0（保凸）时，双圆弧同向，为C形双圆弧。当???0时，双圆弧反向，为S 形双圆弧。在局部坐标系下，双圆弧圆心和半径可以统一地由下式给出：
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左圆半径：R1?Lsin(???2??)/(2sin?sin), 22?
(3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10)
圆心坐标：xA??R1sin?， yA?R1cos?。
?????)， 右圆半径：R2??Lsin(??)/(2sinsin222圆心坐标：xB?L?R2sin?， yB?R2cos?。 公切点M的坐标：xM?Lsin(
???2??)cos(?2??)/sin?2
yM?Lsin(???2??)sin(??)/sin
22??其中?????；?是左圆弧的圆心角，???是右圆弧的圆心角；逆时针方向为正；正圆对应正圆心角，负圆对应负圆心角，??????，L是AB的长度。
3.2.5 误差分析方法
利用法向误差判断方法，步骤如下：
（1）计算二次曲线在节点Pi，Pi?1间n等分的各分点坐标。
1）对于抛物线y?ax2?b，在节点Pi，Pi?1间将横轴值x等分为n份：
xi?xi0?xi1???xin?1?xin?xi?1，计算出抛物线上各对应分点坐标：Pir(xir,y(xir)) r=1,2,…,n-1。
?x?asec??x?acos?2）对于椭圆?、双曲线?，在节点Pi，Pi?1间将参数?等分为n
?y?btg??y?bsin?份：?i??i0??i1????in?1??in??i?1，计算出椭圆或双曲线上各对应分点坐标：
Pir(x(?ir),y(?ir)) r=1,2,…,n-1
（2）判断分点Pi所对应的圆弧，过两圆心o1(x1,y1),o2(x2,y2)的直线（必过公切点）方程：
F(x,y)?Ax?By?C?0
(3.11)
其中：A?y2?y1；B?x1?x2；C?x2y1?x1y2。 将节点Pi(xi,yi)坐标代入式(3.11)左边，将有
F(xi,yi)?0（或F(xi,yi)?0）
(3.12)
将二次曲线上分点Pir坐标xir,yir代入式(3.11)左边计算值，如果F(xir,yir)?0，则Pir点对应第一段圆弧，否则对应第二段圆弧。
7
（3）计算法向误差
对应第一段圆弧的误差公式是：
?ir(1)?(xir?x1)2?(yir?y1)2?R1 ,r?1,2,?,m(m?n?1)
(3.13)
其中m是对应第一段圆弧的最后一个分点号。 对应第二段圆弧的误差公式是：
?ir(2)?(xir?x2)2?(yir?y2)2?R2 ,r?m?1,m?2,?,n?1
(3.14)
（4）判断最大误差
设?i?max(?ir,?ir(1)(2)),i?1,2,?,n?1.
如果?i??（?为指定的最大的允许误差），则双圆弧拟合结果为所求。如果?i??，则对节点Pi,Pi?1间用0.618法缩小区间，重新进行双圆弧拟合，直到满足误差要求。
3.2.6 双圆弧的最佳逼近算法
如何利用双圆弧样条对平面二次曲线进行逼近呢？简单的办法就是先将曲线插值出型值点，再对型值点进行拟合[27-29]，这样做的缺点是：增加了插值误差；型值点过密会增加圆弧的段数。为了很好地解决这个问题，在本章中另外提出的一种方法是先将平面二次曲线进行合适的分割，再用双圆弧拟合，计算逼近误差，如果超过允许误差，再对曲线进行分割、拟合，直至满足要求。这样能够得到在逼近误差允许范围内圆弧段数最少的圆弧样条。
曲线的分割是指在曲线的拐点和奇点处将曲线分成几段，每一段分别处理。另外，为了算法的简捷，要求分割后的曲线两端点的切线角小于90o。如图12所示曲线Г为分割后的平面二次曲线，在两端点P1、P2之间无奇点、无拐点。要求过两点P1、P2分别作圆弧C1、C2，与曲线Г相切于点P1、P2同时公切于P点。
O2 已知P1、P2两点坐标，曲线最佳逼近算法为：
曲线Г
C1 P1 P C2
P2
O1 图12 分割后的平面二次曲线
8
（1）计算 P1、P2两点的切线T1、T2 在直角坐标系下，任意二次曲线的方程为：
F(x,y)?a11x2?2a12xy?a22y2?2a13x?2a23y?a33?0 过二次曲线上点P1(x1,y1)的切线方程为：
a11x1x?a12(x1y?xy1)?a22y1y?a13(x?x1)?a23(y?y1)?a33?0 同理可以得出过P2的切线方程。 （2）确定公切点P
公切点的选择直接影响到双圆弧逼近曲线的光顺性和逼近效果，可以证明双圆弧公切点轨迹是一圆弧，考虑到双圆弧样条与平面二次曲线要取得最好的逼近效果，将公切点取作公切点圆弧与平面二次曲线的交点，这样双圆弧与被逼近的二次曲线段有5个交点（端点相切算两个交点），因而基本上是最佳的双圆弧逼近。
如图13所示，过P1S1P2，1、P2作切线T1、T2交点为S，夹角为?。作等腰三角形P使?P，则公切点圆弧必然与直线P1S1、P2S1相切。 1S1P2??P1SP2
Γ
P1 θ1 α1 P T1 S θ S1 C0 α2 θ2 P2 T2 O 图13 确定公切点
[25]
可以证明公切点P的轨迹为过P，其圆心及半径分别为： 1、P2的圆弧C0x0?y0?x1?x2y2?y1??ctg 222y1?y2x2?x1??ctg 222R?1?(x2?x1)2?(y2?y1)2csc 22
9
其中：ctg?2?‘’'2'21?yy?（1?y)(1?y1212)'y2?y1' ，当
y1'?1y?1'2时成立。
求公切点转化为求公切点圆弧轨迹C0与二次曲线Γ的交点，设交点坐标为(x,y)，则有：
222??(x?x0)?(y?y0)?R ?22??a11x?2a12xy?a22y?2a13x?2a23y?a33?0解此二元二次方程组，即可求出交点P坐标(x,y)。
下面证明公切点圆弧轨迹C0与二次曲线Γ在P从图13可1、P2之间只有一个交点。以看出?1??2??1??2，因此存在三种情况：
a) ?1??1,?2??2，则P2S1与曲线Γ有一个交点，而P1S1与曲线Γ无交点； b) ?1??1,?2??2，则P1S1与曲线Γ有交点，而P2S1与曲线Γ无交点； c) ?1??1,?2??2。
由于对曲线进行了分割，分割后的曲线段与圆弧应是同向凸的，假设为上凸，如图13所示，属情况b)，在P1附近C0位于曲线Γ的下方，在P2附近C0位于曲线Γ的上方，因此C0与曲线Γ必有唯一的交点。情况a)同理可证。情况c)是一种特殊情况，C0即为所求的双圆弧。
（3）求双圆弧C1 、C2
已知两端点P另外又已知两圆弧的公共切点，很容易找到两圆弧的1、P2及其斜率，圆心及半径---(x1,y1)、R1、(x2,y2)、R2。
（4）误差估计
逼近的双圆弧与原曲线的误差计算，是算法的重要组成部分。按曲线C的法线误差计算，可以得出双圆弧C1 、C2与原曲线Γ的误差?1、?2：
2?1?|(y?y1)2?(x?x1）?R1| 点(x,y)在P1和P之间 2?2?|(y?y2)2?(x?x2）?R2| 点(x,y)在P和P2之间
如何找到?1、?2的最大值呢？直接求导很复杂，本章中提出一种区域逼近的方法求
'最大值。首先将区域十等分，求每点的误差及其最大值?max，由于曲线是单峰的，所以
''真正的误差?max一定在?max附近，将区域缩小至?max的邻近区域，重复以上过程，直至
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