三．解答题（共4小题）
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．
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（1）设△PBQ的面积为y（cm），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；
（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．
【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式； （2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20． 【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102， 解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm； 分两种情况：
①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H． ∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴
=
，
∴QH=x，
y=BP?QH=（10﹣x）?x =﹣x2+8x（0＜x≤3），
②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x，
∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴即：
=
， =
，
解得：QH′=（14﹣2x），
∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣2x） =x2﹣
（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20． ∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5， ∴当x=3时，y取最大值，y最大=
．
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x+42（3＜x＜7）；
当3＜x＜7时，y=x2﹣
x+42=（x﹣
）2+，
（3＜x＜7）；
∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=∴当x=3时，y取最大值，
但是x=3不符合题意．
综上所述，△PBQ的面积的最大值是
．
（3）存在．理由如下：
设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c． ∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB?a=AC?c=BC?c，即5a=4b=3c，
故a：b：c=12：15：20．
∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
17．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）． 请你回答：AP的最大值是 6 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 （或不化简为） ．（结果可以不化简）
【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；
（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后
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通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度． 【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC， ∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ∴△A′BA是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6； 故答案是：6．
（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B， ∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短， ∴A'C=PA+PB+PC， ∴A'C长度即为所求．
过A'作A'D⊥CB延长线于D． ∵∠A'BA=60°（由旋转可知）， ∴∠1=30°． ∵A'B=4，
∴A'D=2，BD=2， ∴CD=4+2． 在Rt△A'DC中A'C=∴AP+BP+CP的最小值是：2故答案是：2
+2
+2=
（或不化简为
）．
=
=2）．
+2
；
（或不化简为
【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．
18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．
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（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？ （参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52） 【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；
（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°， ∴EN=PE=30米，
在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=∴ME=
≈50（米），
，
∴MN=EM﹣EN=20米，
答：两渔船M，N之间的距离约为20米；
（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L， 则四边形DFKA为平行四边形， ∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，
由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=， 在Rt△FLH中，LH=在Rt△FLK中，KL=∴HK=30，AH=33，
梯形DAHF的面积为：×DL×（DF+AH）=432， 所以需填土石方为432×100=43200，
设原计划平均每天填x立方米，由题意得， 12x+（
﹣12﹣20）×1.5x=43200，
=36， =6，
解得，x=600，
经检验x=600是方程的解．
答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．
【点评】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．
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19．已知关于x的方程，
（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围； （2）若
，求m的值．
【分析】（1）由关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，可知此一元二次方程的判别式△＞0，即
可得不等式，又由x1＜0＜x2，可得x1?x2＜0，根据根与系数的关系，可得不等式 ＜0，解此不等式组即可求得答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系即可得 4x12+mx1+
m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1?x2=
=m﹣1
=m
﹣1，然后将6x12+mx1+m+2x22﹣8=0变形，可得4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1?x2]=4，则可得方程 （﹣）2﹣2[m﹣1]=2，解此方程即可求得答案． 【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根， ∴△=m2﹣4×4×（m﹣4）=m2﹣8m+64=（m﹣4）2+48＞0， ∵两根x1，x2满足x1＜0＜x2， ∴x1?x2=
=m﹣1＜0，
∴m＜8，
（2）∵x1、x2是方程的根，
∴4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1?x2=∵6x12+mx1+m+2x22﹣8=0，
∴4x12+mx1+m﹣4+2（x12+x22）﹣4=0 ∴4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1?x2]=4， ∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=2， 即 （﹣）2﹣2[m﹣1]=2，
化简得：m2﹣4m=0， 解得：m=0 或m=4， ∴m的值为0或4．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意利用根与系数的关系将原方程变形求解，注意方程思想的应用． 20.【解答】解：∵m+n=mn且m，n是正实数， ∴+1=m，即=m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
即“完美点”B在直线y=x﹣1上， ∵点A（0，5）在直线y=﹣x+b上， ∴b=5，
∴直线AM：y=﹣x+5，
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=m﹣1，