揭阳一中、金山中学2015届高三级第二学期联考
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：锥体的体积公式V?
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M??0,1,2,3?，N??x|0?x?3?，则MIN?(1sh，其中s为锥体的底面积，h为锥体的高. 3)
A.?0,1? B.?1,2? C.?0,1,2? D.?1,2,3?
2. 已知复数z满足
3?4i?i，则z?（ ） zA.?3?4i B.?3?4i C.4?3i D.4?3i
1?x2ln C.f(x)?2x?2?xD.f(x?)x?1?x
4. 下列函数为奇函数的是（ ）
(?)A.f(x)?x3sinx B.fxx 2?y?3?5. 若变量x，y满足约束条件?x?y?1，则z?2x?y的最小值是（ ）
?x?y?1?A.?5 B.?6 C.?8 D.?7
6. 在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知a?2,b?3,C?120，则nsi0A(?)
A.215733 B. C. D.
1971938
7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ） A．?3
8. 对于平面?和直线m,n，下列命题中真命题的个数是（ ）
第7题图
B．?1 2 C．
1 3 D．2
①若m??,m//n,则n//?
②若m//?,n??,则m//n
1
③若m??,n??,则m?n
④若m//?,m//n,则n//?
A.1 B.2 C.3 D.4
10. 已知集合A?{(x,y)|y?f(x)}，若对于任意(x1,y1)?A，存在(x2,y2)?A，使得
x1x2?y1y2?0成立，则称集合A是“好集合”. 给出下列4个集合：
①A?{(x,y)|y?} ②A?{(x,y)|y?lnx} ③A?{(x,y)|y?x2} ④A?{(x,y)|y?sinx} 其中所有“好集合”的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）
11. 设Sn为等差数列?an?的前n项和，S10?5a5,a7?2,则a9 ＝ .
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
π?到直线l的14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l的方程为?sin??3，则点?1，??
?6?
2x距离为 ．
B O A D E
15. （几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，直线CE与 圆O相切于点C，AD?CE于点D，若圆O的面积为??，
?ABC?30，则AD的长为 ．
C 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分）
已知函数f(x)?2sin??x??????,(??0,x?R)的最小正周期为2?． 6?(1) 求f?????的值； 6??(2) 若f???
????10???,?????,??，求cos?.
6?13?2? 2
17．（本小题满分12 分）
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身
高情况的统计图如图所示． (1)估计该校女生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
18. （本小题满分14分）
如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.
(1)求证：CD∥平面PAB； (2)求证：BC⊥平面PAC；
(3)若M是PC的中点，求三棱锥D－MAC的体积．
3
20. (本小题满分14分)
21. (本小题满分14分)
已知函数f(x)?x?a?(a?1)lnx(a?R)． x （1）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得至少有一个x0?(0,??)，使f(x0)?x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
数学（文科）参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 B 8 A 9 B 10 C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上） 11. 6 12. 13. 14. 15.
22三、解答题：（本大题共6小题 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 【解析】(1)由
532???2?，得??1 ………2分
???f(x)?2sinx?∴?? ………3分
6?? 4
?3????????3 ………5分 ∴f???2sin????2sin?2?66632????（2）∵f?????????10??5??, ?sin???2sin?????? ???36?313??13?? 又 ????5?4????,?? ????(,)
363?2? ∴cos(????12)?1?sin2(??)??， ………7分 3313?)?]?cos(??)cos?sin(??)sin ……… 9分
333333 ∴cos??cos[(??????? ??1215353?12 ………12分 ????1321322617．（本小题满分12分）
解：(1)样本中女生人数为30，分层抽样比为10%. 故估计全校男生人数为300. ……………3分
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人， ……4分 35
样本容量为70. 故该校学生身高在170～185 cm之间的概率 P1＝＝0.5. ……………6分
70(3)由统计图知，样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人(不妨设为A、B、C、D)，样本身高在185～190 cm之间的男生有2人(不妨设为E，F) ……………7分 从身高在180～190 cm之间的6人中任选2人有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C), (B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种结果，……………9分 其
中
至
少
1
人
身
高
在
185
～
190
cm
之
间
的
结
果
有,(A,E),(A,F),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共9种， ………11分 93
故所求事件的概率P2＝＝. ……………12分
15518．（本小题满分14）
解：(1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
又CD?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PCD. ……………4分 (2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1， 又AB＝2，∴BE＝1， 在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2， 则AC＝AD2＋CD2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，
5
∴BC⊥AC， ……………8分 又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， ……………9分 又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ……………10分
(3)∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到面ADC距离的一半． 1?1PA?＝1×?1×1×1?×1＝1. ……………14分 VD－MAC=VM－ACD＝S△ACD·?2?3?2?212319. （本小题满分14分）
20. （本小题满分14分） 21．（本小题满分14分）
解：（1）函数f?x?的定义域为?0,???， f'?x??1?aa?1?x?a??x?1?………………2分 ??22xxx当a?1时, f'?x??0,f?x?的单调增区间为?0,???…………………………3分 当a?1时，由f'?x??0得，??x??或x?a，由f'?x??0得，1?x?a 故函数f?x?的单调增区间为?0,1?和?a,???,单调减区间为?1,a?…………5分
（2）先考虑“至少有一个x0?(0,??)，使f(x0)?x0成立”的否定“?x?(0,??)，f?x??x恒成立”。即可转化为a??a?1?xlnx?0恒成立。
令??x??a??a?1?xlnx，则只需??x??0在x??0,???恒成立即可，………6分
?'?x???a?1??1?lnx?
当a?1?0时，在x??0,?时，??x??0，在x??,???时，??x??0
''??1?e??1?e??， ??x?的最小值为???，由????0得a?e?1ee故当a??1????1???11时f?x??x恒成立， ……………………………………9分 e?1当a?1?0时，??x???1，??x??0在x??0,???不能恒成立，……………11分 当a?1?0时，取x?1, 有?(1)?a??1, 综上所述，即a?
??x??0在x??0,???不能恒成立，…13分
1或a??1时，至少有一个x0?(0,??)，使f(x0)?x0成立。………14分 e?1 6