边界点是曲面上的点），这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值。
若根据实际问题一定有最大值（或最小值），而内部有唯一可疑点，则改点的函数无须判断一定是最大值（或最小值）。
例 2.2 设D是由x轴，y轴及直线x?y?2?所围成的三角形区域（图2.1）求函数u?sinx?siny?sin(x?y)在D上的最大值。
解：由函数无偏导数不存在的点，
图2.1 例题2.2示意图
解方程组
??u?cosx?cos(x?y)?0??x ?（定理2.1） ??u??cosy?cos(x?y)?0???y解得x?2?2?,y?, 33而在边界x?0或y?0或x?y?2?上，u?0。 因此(
2?2?2?2?33,)是唯一的可疑点，所以为u(,)?最大值。 333326
2.2 多元函数条件极值
前面我们讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。
例如要设计一个容量为V的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。设水箱的长、宽、高分别为x,y,z,则表面积为
s(x,y,z)?2(xz?yz)?xy（3.1）
定义域是x?0,y?0,z?0,，而且必须满足条件
xyz?v（3.2）
像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。
条件极值问题的一般形式是在条件组
??(x1,x2,?,xn)?0,k?1,2,?,m(m?n)（3.3）
的限制下，求目标函数
y?f(x1,x2,?,xn)（3.4）
以前像这类极值时，只能用消元法化为无条件极值问题。 前面的例子，由条件（3.2），解出z?f(x,y)?s(x,y,v代入（3.1）式，有 xyv11)?2v(?)?xy,(x?0,y?0), xyyx由于F(x,y)在定义域内无偏导数存在的点，解方程组
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1??F??2v?y?02?x??x（定理2.1） ??F1???2v2?x?0y???y解得x?y?32v,z?132v, 2由实际问题表面积无最大值，只有最小值，因此，当
x?y?32v,z?132v,时表面积s?334v2最小。 2然而，在一般情况下，要从条件组（3.3）中解出m个变元并非容易，甚至解不出来，因此，我们要开辟解决问题的新途径。从而产生了拉格朗日乘数法这种不直接依赖消元而求解条件极值的有效方法。为了便于理解我们看比较简单的情形。
在所给条件
G(x,y,z)?0（3.5）
下，求目标函数
u?f(x,y,z)（3.6）
的极值。
设f和G具有连续的偏导数，且
?G?0，由隐函数存在定理，方程?x（3.5）确定一个隐函数z?z(x,y)，且它的偏导数为
G??zy，于是所求条件极值问题化为求函数 ????yGzG??z??x，
??xGzu?f?x,y,z(x,y)?（3.7）
无条件极值问题。这用已经讲过的方法就可解决。然而在实际计算中，要从（3.5）解出z来，往往是很困难的，这时就可用下面介绍的拉格朗日（Lagrange）乘数法来解。
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定义2.3?4?设(x0,y0)为（3.7）的极值点，z0?z(x0,y0)，由必要条件知，极值点(x0,y0)必须满足条件：
??u?0???x??u??0???y（3.8）
应用符合函数求导法则及式（3.8），得
?Gx?z??u????f?f?f?fz??0xxx??x??xGz? ??G?u?z??f??f??f??vf??0vxvz???y?xG?z即所求问题的解(x0,y0,z0)必须满足关系式
fx?(x0,y0,z0)fy?(x0,y0,z0)fz?(x0,y0,z0) ???(x0,y0,z0)G??Gx(x,y,z)G(x,y,z)y000z000若将上式的公共比值记为??，(x0,y0,z0)必须满足：
??0?fx???Gx??fy???G?y?0（3.9） ????0?fz??Gz因此，(x0,y0,z0)除了应满足约束条件（3.5）外，还应满足方程组（3.9），换句话说，
函数u?f(x,y,z)在约束条件G(x,y,z)?0下的极值点(x0,y0,z0)是下列方程组的解：
??0,?fx???Gx?f???G??0,?yy（3.10） ???0,?fz???Gz?G(x,y,z)?0,?容易看到，（3.10）式恰好是四个独立变量x,y,z,?的函数
L(x,y,z,?)?f(x,y,z)??G(x,y,z)（3.11）
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取到极值的必要条件，这里引进的函数L(x,y,z,?)称为Lagrange函数。它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题，通过解方程组（3.10），解得x,y,z,?，然后再研究相应的(x,y,z)是否真是问题的极值点。这种方法，就称为Lagrange乘数法，它可以推广到多个变量与多个约束条件的情形，对于（3.4），（3.3）两式所表示的一般约束条件极值的拉格朗日函数是
L(x1,x2,?,xn,?1,?2,?,?m)?f(x1,x2,?,xn)??????(x1,x2,?,xn)
??1m其中?1,?2,??m为拉格朗日的乘数。
若(x01,x02,?,x0n)是函数f(x1,x2,?,xn)的极值点，则一定存在m个常数(?01,?02,?,?0m)，使(x01,x02,?,x0n,?01,?02,?,?0m)是函数L的稳定点，因此函数f极值点的可疑点，一定在拉格朗日函数L的稳定点前n个坐标构成的点之中，往往可以借助于物理意义或者实际经验来判断所得点是否为极值点。
2.3?多元函数条件极值的解法
在求解多元函数无条件极值问题时,我们可以根据极值存在的充分条件来判断函数是否在驻点处取得极值,而在多元函数条件极值问题的求解过程中,我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后,往往根据问题的实际意义判断函数在该点取得极值。但是对于一般情况下的条件极问题,由于没有实际实际背景做辅助判断,我们就需要寻求判断函数取得极值的方法。下面通过例题介绍几种判断方法。
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