2.3.1?直接代入消元法
这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以解决,可以用来解决一些较为简单的条件极值问题。
前面介绍了关于极值的充分条件，求得其驻点后从定理2.2可以知道设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域u(p0)连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果fx?(x0,y0)?0，fy?(x0,y0)?0,设
??(x0,y0),B?fxy??(x0,y0),C?fyy??(x0,y0),则 A?fxx?3? （1）当B2?AC?0时，f(x0,y0)一定为极值，并且当A（或C）
?0时，f(x0,y0)为极小值；当A（或C）?0时，f(x0,y0)为极大值;
（2）当B2?AC?0时，f(x0,y0)不是极值；
（3）当B2?AC?0，还不能断定f(x0,y0)是否为极值。 就可以用以上定理来解决一些相关问题，下面看几个例题。 例2.3求函数 f(x,y,z)?xyz在x?y?z?0条件下的极值。 解：由 x?y?z?0 解得g(x,y)=xy(2-x+y) ，
将上试代入函数f(x,y,z)?xyz，得g(x,y)?xy(2?x?y)，
22? 求偏导数g?x?2y?2xy?y,gy?2x?2xy?x 2?22?g?x?2y?2xy?y?0p(0,0),p(,?) 由方程组?解得12233?y?2x?2xy?x?0?g?????? 又g?xx??2y,gxy?2?2x?2y,gyy?2x
根据极值存在的充分条件，在点p1处
?1?AC?B2?0?0?22?4?0, 所以p1不是极值点，从而函数
f(x,y,z)在点(0,0,2)处无极值；在点p2处，
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44424?2?AC?B2???(?)2??0,又A?，所以p2为极小值
33333222点，因而函数f(x,y,z)在相应点(,?,)处有极小值，极小
3332228值为F(,?,)??。
33327 例2.4 求函数f(x,y,z)?xyz在条件x?y?1下的极值。 解： 由两个条件可得
2?z2z2,y?, x?22将其带入目标函数f(x,y,z)?xyz中消去变量x和y可得 4f(z)?2z3?z5, 两边求导可得
4f?(z)?6z2?5z4, 可得稳定点
z1?0,z2?66,z3??, 55由于f??(0)?0，而f???(0)?12?0，即z1点的奇数阶导数不
为零所以z1不是函数的极值点；
又显然4f??(值：
f(而4f??(?666)?; 5255666故函数在z2?处取得极大)??12?0，
555666)?12?0，故函数z3??处取得极小值： 555666)??. 5255 f(? 12
将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单，缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决。
2.3.2?拉格朗日乘数法
首先我们利用全微分判断[5]，在无条件极值问题中，可以利用全微分判断函数是否在驻点处取得极限值。 设函数u?f(x,y,z)在点处df(x0,y0,z0)?0
若d2f(x0,y0,z0)?0，则函数在p0处取得极大值 若d2f(x0,y0,z0)?0，则函数在p0处取得极小值； 其他情况则不能确定是否有极值。
如果求函数f(x,y,z)在g(x,y,z)=0条件下的极值，可先构造拉格朗日函数
F(x,y,z)?f(x,y,z)??g(x,y,z)
在求出驻点后，可根据F(x,y,z)在驻点处的二阶微分d2F的符号，来判断函数f(x,y,z)是否在该点取得极值。
例2.5求函数f(x,y,z) ?x?2y?2z在x2?y2?z2?1条件下的极值。
解：构造拉格朗日函数
F(x,y,z)?x?2y?2z??g(x2?y2?z2?1)
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?Fx??1?2?x?0??Fy???2?2?x?0 解方程组??Fz??2?2?x?0?F??x2?y2?z2?1?0???1??2? ?3??4?111,y?,z??,代入（4）2???3122122得???于是的驻点p1(?,,?)与p2(,?,)。
2333333 由（1）（2）（3）式可得x??又
?2F2?2F2?2F2?2F?2F?2FdF?2dx?2dy?2dz?dxdy?dydz?2dzdx?2?(dx2?dy2?dz2)?x?y?z?x?y?y?z?z?x21223331223122数的极小值为f(?,,?)??3；当???时，即在点p2(,?,)处，
3332333122d2F?0，所以p2为极大值点，极大值为f(,?,)?3。
333当??时，即在点p1(?,,?)处，d2F?0，所以p1为极小值点，函
32再就是我们利用二阶偏导数矩阵判断[6]
若
要求函数f(x1,x2,?,xn)则条件gk(x1,x2,?,xn)?0，
k?1,2,?,mm?n(?)下的极值还可以采用以下方法。
（1）构造拉格朗日函数
L(x1,,x2,?,xn,?1,?2,?,?m)?f(x1,x2,?,xn)???kgk(x1,x2,?,xn);
i?1m （2）求出驻点(x1,0,x20,?,xn0,?10,?20,?,?m0),设p0(x1,0,x20,?,xn0), 令F(x1,x2,?,xn)?L(x1,x2,?,xn,?10,?20,?,?m0);
（3）利用以下定理判断函数f(x1,x2,?,xn)的极值定理。 记矩阵M?
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?Fx?1?x1??Fx?2?x1 ????Fx??x?n1Fx?1?x2Fx?2?x2?Fx?n?x2?Fx?1?xn?????Fx2xn? ?????Fx?n?xn?? ①若M正定，则在条件(?)下，f(x1,x2,?,xn)在点p0处取得极小值；
②若M负定，则在条件(?)下，f(x1,x2,?,xn)在点p0处取得极大值；
③若M不定，则在条件(?)下，f(x1,x2,?,xn)在点p0处无条件极值。
例2.6求函数f(x1,x2)?x2?y2?3在y?1?x条件下的极值。 解：构造拉格朗日函数F(x1,x2)?x2?y2?3??(1?x?y)
?Fx??2x???0? 解方程组?Fy??2y???0???F??1?x?y?01212(1)(2) (3)1122 解得x??,y?,??1，下面判断p0(?,)是否为极值点。
由F(x1,x2)?x2?y2?x?y?2得
??2, Fx??2x?1,Fy??2y?1,Fxx???2,Fxy???0,Fyx???0 Fyy 矩阵M??所以函数在点p0(?,)处取得极小?正定，22?02?值，且极小值为f(?,)??。
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