《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第二章(5)

?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2

P{X<0}= . 【解】0.3?P(2?X?4)?P(4 52?2??X?2??4?2?)

22??()??(0)??()?0.5

??故 ?(2?)?0.8

X?2因此 P(X?0)?P(?2?0?2?)??(?2?)

?1??()?0.2

?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调

试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=A∪AB，且

P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

??P(X?n)?(0.94)nn?2??P(X?n?2)?C2(0.06)2 n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n) ?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

21

24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P???1??() ??????故 ?(查表知 从而X~N（72，122） 故 P(60?X?84)?P?24?)?0.977

24??2,即σ=12

?60?72X?7284?72????

1212??12

??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.68248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概

率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知

P(A1)?P(X?200)

?X?220200?220??P???

2525????(?0.8)?1??(0.8)?0.212P(A2)?P(200?X?240)

?200?220X?220240?220??P????

252525????(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212

由全概率公式有

??P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642

i?13由贝叶斯公式有

??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)?0.009

P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).

22

【解】f?1,1?x?2X(x)???0,其他

因为P（1

当e2

当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1

??0,y?e2即 F?124Y(y)??2lny?1,e?y?e

???1,y?e4?故 f?1,e2?y?e4Y(y)??2y

??0,其他50.设随机变量X的密度函数为

f(x)=??e?x,x?0,X0,x?0.

?求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时，FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)?P(X?lny) ??lnyx0e?dx?1?1y ?即 F?1?1Y(y)??y,y>1

??0,y?1?1故 f?2,y>1Y(y)??y

??0,y?1

(1995研考) 23

51.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=

1,

π(1?x2)求Y=1?3x的密度函数fY(y).

33【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X?(1?y))

??

11dx?arctgx(1?y)3π(1?x2)π??(1?y)3?1?π3??arctg(1?y)?π??2?

3(1?y)2故 fY(y)?

π1?(1?y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993

研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t

?1?e??t,t?0即 FT(t)??

0,t?0?即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

e?16??8?（2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e

e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1

件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x

由题知P(?1?X?1)?1?115?? 848x?1 2当?1

24

?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)

?x?15151???(x?1)?2881681 8当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数

x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1

8?16x?1??1,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意

X??1?1?N(0,1)，

Y??2?2?N(0,1)，则

P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}，

P{Y??2?1}?P{因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即

?2??2}.

P{X??1?11?1?1}?P{Y??1?2?1?2}，

所以有

?1?1?2，即?1??2.

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