数学建模作业——实验1
学院：软件学院姓名：学号：班级：软件工程邮箱：电话：日期：
2015级 GCT班
2016年5月10日
基本实验
1. 椅子放平问题
依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下：
如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，
则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0
令α=π（即椅子旋转180°,AB边与CD边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0
定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0
根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0
结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题
依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。
答：用i=1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。xi?1在此岸，xi?0在对岸，s??x1,x2,x3,x4?此岸状态，D??1?x1,1?x2,1?x3,1?x4?对岸状态。安全状态集合为 :
S= 1，1，1，1 ,D=(0，0，0，0) S= 1，1，1，0 ,D=(0，0，0，1)
S= 1，1，0，1 ,D= 0，0，1，0
S= 1，0，1，1 ,D= 0，1，0，0
S= 1，0，1，0 ,D= 1，0，1，0
S= 0，1，0，1 ,D= 0，1，0，1
S= 0，1，0，0 ,D= 1，0，1，1
S= 0，0，1，0 ,D= 1，1，0，1 S=0，0，0，1,D=1，1，1，0
S= 0，0，0，0 ,D=(1，1，1，1)
乘船方案，记作U??u1,u2,u3,u4?，当i在船上时记ui?1，否则记
ui?0，允许决策集合为
U???1,1,0,0?,?1,0,1,0?,?1,0,0,1?,?1,0,0,0??
因为乘船k为奇数时船从此案驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态sk随决策Uk变化的规律为
sk?1?skk???1?U，
k设计安全过河方案归结为求决策U1,U2,?,Un?U,，使状态sk?S按转移律由初始状态s1??1,1,1,1?经有限步n到达状态sn?1??0,0,0,0?。
根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素
2中取2个元素的组合一共有??3=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。
其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡
带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下：
上述方案直观表示如下：
3. 购房贷款问题（续）
在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。
某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。但条件如下：
（1） 每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给
银行还款额的1/2；
（2） 因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷