中国矿业大学2012届本科生毕业论文 第8页
直方图能给出该图像的大致描述，如图像灰度范围、灰度级的分布、图像的平均亮度、图像的能量等级等重要特征。但是仅从直方图还不能完整地描述一幅图像，因为直方图不包含某一灰度像素的几何位置信息。例如，一幅图像唯一对应一个直方图，但是一个直方图可对应不同的图像。如图2.4所示，图(a)和(c)只是位置的不同，但是直方图相同，说明了直方图的空间信息的丢失[6]。
2.4.2 直方图均衡化
直方图均衡化也叫做直方图均匀化，是一种常用的灰度增强算法。例如，一幅对比度较窄的图像，其直方图分布一定集中在某个比较小的灰度范围之内，经过均匀化处理之后，其所有灰度级出现的相对频数（概率）大致相同，拉大了图像的对比度，可以更多地展现图像的灰度细节，改善图像的视觉效果。如图2.5所示。
(a) 原图像的概率密度函数 (b)新图像的概率密度函数 图2.5直方图均衡化密度函数
图2.6直方图均衡化原理
图2.6所示为连续情况下图像的非均匀直方图分布函数Pr?r?经转换函数s?T?r?转换为均匀直方图分布函数Ps?s?的情况，图中r为变换前的归一化灰度级0?r?1。T?r?为转换函数，s?T?r?为转换后的图像灰度值。为使这种转换具有实际意义，T?r?应满足以下条件：
（1） 在0?r?1区间内，T?r?为单值单调递增函数。
中国矿业大学2012届本科生毕业论文 第9页
（2） 对于0?r?1，对应有0?s?T?r??1，保证变换后像素灰度级仍在允许范围内。 下面的问题就是找出这么个转换函数T?r?了。
在图2.6中，某一输入图像的灰度直方图为Pr?r?，经过转换函数T?r?对输入图像的灰度进行转换，转换后得到输出图像的直方图Ps?s?，要求其具有均衡直方图特性。在连续的直方图中，其横坐标表示图像的灰度，纵坐标表示不同灰度面积占整个图像面积的比例，在归一化的情况下，直方图函数沿着灰度积分的结果就是整个图像的面积，即
1
P?r??dr?图像面积?1?
0现在考虑在输入直方图中的一个极小宽度为?r的条带范围内，灰度近似为Pr?r?，乘积Pr?r??r表示输入小条面积。此窄条经过T?r?转换后，对应到输出直方图中为一宽度为?s、灰度为Ps?s?的一小条，乘积Ps?s??s表示输出小条面积。由于直方图转换前后整个图
像的面积不变，输入小条上的所有像素的灰度发生改变，但小条转换前后的面积不变，因此有Ps?s???s?Pr?r???r，此式取极限后得
Ps?s??ds?Pr?r??dr （2.8） 要求输出直方图均衡化（并归一化），有Ps?s??1，即
ds?Pr?r??dr （2.9） 两边取积分，并用?取代积分变量，得
r
（2.10） s?T?r???Pr???d?0
式（2.10）就是所求的转换函数，它是原函数的灰度直方图函数Pr?r?的积分，是一个非负的递增函数。
上述直方图均衡化的转换函数的结论虽然是从连续图像直方图的概念推导出来的，但是这一结论的原理对数字图像也是适用的，只需要将其变为求和运算。设原数字图像的总像素数为N，共有L个灰度级，其中第k个灰度级rk出现的像素数为nk，则第k个灰度级出现的频率（即该图像的归一化直方图）为
nkk?0,1,?,L?1? 1??Pr? r k 0 ? rk ， （2.11）
N对其进行均匀化处理，和连续图像的情况类似，变换函数为直方图函数的积累求和，即
nj s k ? T ? r （2.12） ????Pr???krjj?0j?0N
式中，转换函数为sk?T?rk?，输出直方图为Ps?sk?。
kk2.4.3 MATLAB函数及实现
在MATLAB中，可以调用函数histeq自动完成图像的直方图均衡化。对于灰度图像，histeq函数的调用格式如下：
J=histeq(I,n)
中国矿业大学2012届本科生毕业论文 第10页
其中，n表示输出图像的灰度级数目，是一个可选参数，缺省值为64。 下面选择图片pout.tif，进行演示说明[7] 程序代码：
I=imread('pout.tif');
J=histeq(I); imhist(I);
figure,imshow(I); figure,imhist(J); figure,imshow(J);
示例图片：
(a) pout 原图 (b) 原图直方图统计
(c) 直方图均衡化后 (d) 均衡化后直方图统计
图2.7 pout图像及直方图
直方图均衡化前后图像的比较如图2.7所示，可以看出，经过直方图均衡化后，图像的细节更加清楚了，但由于直方图均衡化没有考虑图像的内容，所以均衡化后的图像亮度过高。
中国矿业大学2012届本科生毕业论文 第11页
2.5 空域滤波增强
空域滤波是在图像空间中借助模板对图像进行邻域操作的，输出图像每一个像素的取值都是根据模板对输入像素相应邻域内的像素值进行计算得到的。一般情况下，像素的邻域比该像素要大，也就是说这个像素的邻域中除了该像素本身还包括了其他像素。以
在这种情况下，g?x,y?在?x,y?位置处的值不仅g?x,y?和f?x,y?分别代表增强前后的图像，
取决于f?x,y?在?x,y?位置处的值，而且取决于f?x,y?在以?x,y?为中心的邻域内所有像素的值。如以s和t分别表示f?x,y?和g?x,y?在?x,y?位置处的灰度值，以n?s?表示f?x,y?在?x,y?邻域内像素的灰度值，则
T?EH?s,n?s?? （2.13） 为了在邻域内实现增强操作，可利用模板与图像进行卷积。每个模板实际上是一个二维数组，其中每个元素的取值决定了模板的功能，这种模板操作被称为空域滤波。 2.5.1 空域滤波基本原理和分类
空域滤波一般可分为线性滤波和非线性滤波两类。线性滤波器的设计常基于对傅里叶变换的分析。非线性空域滤波器则一般直接对邻域进行操作。另外各种空域滤波器根据功能又主要分为平滑滤波器和锐化滤波器。平滑可以用低通来实现，平滑的目的可分为两类：一类是模糊，目的是在提取较大的目标前去除太小的细节或将目标内的小间断连接起来；另一类是消除噪声。锐化可以用高通滤波来实现，锐化的目的是增强被模糊的细节。综合这两种分类法，可将空域滤波增强方法分为四类：
（1） 线性平滑滤波器（低通）； （2） 非线性平滑滤波器（高通）； （3） 线性锐化滤波器（低通）； （4） 非线性锐化滤波器（高通）。
空域滤波器的工作原理都可借助频域进行分析。它们的基本特点都是让图像在傅里叶空间的某个范围的分量受到抑制，而让其它分量不受影响，从而改变输出图像的频率分布，达到增强的目的。在增强中用到的空间滤波器主要有两类：
（1）平滑（低通）滤波器。它能减弱或消除傅里叶空间的高频分量，但不影响低频分量。因为高频分量对应于图像中边缘等灰度值具有较大较快变化的部分，滤波器将这些分量滤去可使图像平滑。
（2）锐化（高通）滤波器。它能减弱或消除傅里叶空间的低频分量，但不影响高频分量。因为低频分量对应于图像中灰度值缓慢变化的区域，因而与图像的整体特性，如整体对比度和平均灰度值等有关，将这些分量滤去可使图像锐化。
空域滤波器都是利用模板卷积，主要步骤如下：
（1） 将模板在图中移动，并将模板中心与图中某个像素位置重合。 （2） 将模板上的系数与模板下对应的像素值相乘。 （3） 将所有乘积相加。
（4） 将和（模板的输出响应）赋给图中对应模板中心位置的像素。
中国矿业大学2012届本科生毕业论文 第12页
S4 S3 S2 S5 S0 S1 S6 S7 S8 K4 K3 K2 K5 K0 K1 K6 K7 K8
(a) (b)
R (c)
图2.8图像的模板卷积
图2.8 (a)中给出了图像的一部分，其中所标的是一些像素的灰度值，现设有一个3?3的模板如图2.8(b)所示，模板中所标的是模板系数。如将k0所在的位置与图中灰度值为s0的像素重合，模板的输出响应R为
R?k0s0?k1s1???k8s8 （2.14） 将R赋给增强图，作为在?x,y?位置的灰度值，如图2.8（c）所示。如果对原图中每个像素都进行这样的操作，就可得到增强图所有位置的新灰度值。如果我们在设计滤波器时给各个模板系数赋予不同的值，就可得到不同的高通或低通效果。 2.5.2 平滑滤波器
（1）线性平滑滤波器
线性低通滤波器是最常用的线性平滑滤波器，这种滤波器的所有系数都是正的。对3?3的模板来说，最简单的操作是取所有系数都为1。为保证输出图像仍在原来的灰度范围内，在计算出R后要将其除以9再进行赋值，这种方法称为邻域平均法。
因为邻域平均处理减少了相邻像素值的差别，或者说“扯平”了像素值的波动，而像素值的波动蕴含着较多的噪声和高频分量，在减少噪声影响的同时，也削弱了图像的高频分量，因此图像的邻域平均处理在本质上是一种低通滤波的处理方法[8]。
在MATLAB中函数B=filter2(h,A)来实现均值滤波，其中B=filter2(h,A)返回图像A经过算子h滤波的结果。示例程序如下：
I=imread('tire.tif');
J=imnoise(I,'salt & pepper',0.02); imshow(I);
figure,imshow(J);
K1=filter2(fspecial('average',3),J)/255; K2=filter2(fspecial('average',7),J)/255; figure,imshow(K1); figure,imshow(K2);
结果如图2.9所示。
邻域平均法的平滑效果与所用的邻域的面积有关。面积越大，噪声去除的效果越好，