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-1 -2 -1 -1 0 1 0 0 0 -2 0 2 1 2 1 -1 0 1 (a)对水平边缘响应大 （b）对垂直边缘响应大
图2.13 Sobel算子基本方法
式（2.19）和式（2.20）分别对应图2.13所示的两个滤波模板。为了简化运算，也可以用来 x ? S y 替代式（2.21）的计算，从而得到锐化后的图像。由此可知，Sobelg? S算子不像普通梯度算子那样用两个像素的差值，而用两列或者两行加权和的差值，这就有一下两个优点：
① 由于引入了平均因素，因而对图像中的随机噪声有一定的平滑作用。 ② 由于它是相隔两行或两列的差分，故边缘两侧的元素得到了增强，边缘显得粗而亮。
（a）原图 （b）sobel算子滤波
（c）prewitt算子滤波 （d）log算子滤波
图2.14三种边缘增强算子效果
在MATLAB中常用空域微分算子sobel算子、prewitt算子、高斯-拉普拉斯算子等来实现非线性锐化滤波。下面的例子来显示几种边缘增强算子在图像增强中的不同效果。 I=imread('eight.tif');
figure,imshow(I);
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h1=fspecial('sobel'); K1=filter2(h1,I); figure,imshow(K1); h2=fspecial('prewitt'); K2=filter2(h2,I); figure,imshow(K2); h3=fspecial('log'); K3=filter2(h3,I); figure,imshow(K3);
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3 频域图像增强方法
3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）简介
在连续信号的处理中，傅里叶变换为人们深入理解和分析信号的特性提供了一种强有力的手段。为了能进行定量数值计算，可以通过抽样使原来连续分布的信号变成离散信号。并且由抽样定理可以知道，当满足一定条件时，就可以从有限的抽样精确地恢复出原连续信号，由此大大地降低了分析处理的复杂程度。对于离散信号，与之相对应的是离散傅里叶变换[11]。
离散傅里叶变换建立了离散时域（空间域）与离散频域之间的联系。当信号或图像处理在空域上直接处理时，计算量会随着取样点数的增加而极具增加。采用DFT方法可减少计算量：将输入的数字信号首先进行DFT，把时域（空域）中的卷积或相关运算简化为在频域上的相乘处理，然后进行DFT反变换，恢复为时域（空域）的信号。这样，计算量减少，提高了处理速度。此外，DFT还存在快速算法，可以进一步减少计算量，提高处理速度。
定义二维离散信号{f(x,y)|x?0,1,?,M?1;y?0,1,?,N?1}的DFT的变换为
?uxvy?M?1N?1?j2????1 F ? , y ? e ? M N ? （3.1）? ? f ?xu ,vMNx?0y?0
?? ?uxvy?M?1N?1j2????1 f ? x , y ? ? F (u ,v ? M N ? （3.2） )eMNu?0v?0
式中，u,x??0,1,?,M?1?;v,y??0,1,?,N?1?。
在DFT变换对中，F(u,v)为离散信号f(x,y)的频谱，一般情况下是复数，设F?u,v?为其幅度谱，??u,v?为其相位谱，F(u,v)还可用式（3.3）表达，即
F(u,v)?F(u,v)exp?j??u,v???R(u,v)?jI(u,v) （3.3）
式中R(u,v)和I(u,v)分别为二维复频谱F(u,v)函数的实部和虚部[12]。
F(u,v)的幅度函数为
F?u,v??R2?u,v??I2?u,v? （3.4）
??
除了二维离散傅里叶变换，还有DCT变换、沃尔什变换、哈达玛变换、正交的K-L变换等。都是时域到频域的变换方法。受篇幅问题，这里不再做介绍了。
?I?u,v?? ? ? u , ? ? （3.5） ?arctanv
?R?u,v??F(u,v)的相位函数为
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3.2频域增强定义和步骤
频域增强是利用图像变换方法将原来的图像空间中的图像以某种形式转换到其它空间中，然后利用该空间的特有性质方便地进行图像处理，最后再转换回原来的图像空间中，从而得到处理后的图像。 频域增强的主要步骤是：
(1) 选择变换方法，将输入图像变换到频域空间；
(2) 在频域空间中，根据处理目的设计一个转移函数并进行处理； (3) 将所得结果用反变换得到图像增强。 频域增强的方法有两个关键点：
(1) 将图像从空间域转换到频域所需的变换及将图像从频域空间转换回空间域所需的变换；
(2) 在频域空间对图像进行增强的操作。
根据适用范围的不同，常用的频域增强方法有低通滤波和高通滤波。
3.3 低通滤波
图像在传递过程中，由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H?u,v?来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获 得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。在傅里叶变换域中，变换系数能反映某些图像的特征，如频谱的直流分量对应于图像的平均亮度，噪声对应于频率较高的区域，图像实体位于频率较低的区域等，因此频域常被用于图像增强。在图像增强中构造低通滤波器，使低频分量能够顺利通过，高频分量有效地阻止，即可滤除该领域内噪声。由卷积定理，低通滤波器数学表达式为：G?u,v??F?u,v?H?u,v?式中，F?u,v?为含有噪声的原图像的傅里叶变换域；H?u,v?为传递函数；G?u,v?为经低通滤波后输出图像的傅里叶变换。假定噪声和信号成分在频率上可分离，且噪声表现为高频成分。H?u,v?滤波滤去了高频成分，而低频信息基本无损失地通过。
选择合适的传递函数H?u,v?对频域低通滤波关系重大。常用频率域低通滤波器H?u,v?有四种[13]：理想低通滤波器、Butterworth 低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。
3.3.1 理想低通滤波器
设傅立叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0，则理想低通滤波器的传递函数为：
D?u,v??D0?1 H ?u , v ? ? ? （3.6）
??0Du,v?D0?
式中，D?u,v??u2?v2
??1/2表示点?u,v?到原点的距离，D0表示截止频率点到原点的距离。
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3.3.2 Butterworth 低通滤波器
n 阶Butterworth 滤波器的传递函数为[14]：
1??Hu,v? 2n?D?u,v?? （3.7） 1????D0?
Butterworth低通滤波器是一种物理上可以实现的滤波器。它的特性是连续性衰减，而不像理想滤波器那样陡峭变化。 3.3.3 指数低通滤波器
指数低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。它的传递函数为：
nD?u,v?? （3.8） D0, v ? H u e
??3.3.4 梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折中。它的传递函数为：
?1D?u,v??D0 ??D?u,v??D1??Hu,v?D? D 0 ? ? u ,v ? ? D 1 （3.9）
D?D01? ?0D?u,v??D0?
3.3.5 MATLAB算法及其实现
（1）理想低通滤波器[15]
图3.1理想低通滤波器特性曲线