推论 设A为一个n×n阶正定矩阵,则
N?x???xAx?T12, x?R
n是R中的一种范 数.
证明 因为A为正定矩阵,所以有非奇异矩阵L,使得A?nLLT,于是
2
由定理2可知,N二 矩阵的范数
mn
N?x???xTAx???LTx???LTx??LTxT12?x?是R????12n中的一种范数.
m?n一个m×n阶的矩阵也可以看作是m×n维的向量，用R表示m×n阶矩阵的集合,本质上
是和R一样的向量空间，因此可以按向量的办法来定义其上的范数,但是,矩阵还有矩阵间的乘法运算.所以,对于n×n阶的方阵我们定义范数如下 定义4(矩阵的范数) 如果矩阵
① ① 非负性 ② ② 齐次性 ③ 三角不等式 ④相容性
nA?Rn?n的某个非负的实值函数AA?0A?0A?0且
当且仅当
,满足条件
(15)
k?A?k?A (16)
(17)
A?B?A?BA?B?A?Bn?n (18)
则称‖A‖是R的一个矩阵范数.
由向量的2-范数可以得到R中矩阵的一种范数.
由于在大多数与估计有关的问题中,矩阵和向量会同时参与讨论,所以希望引进一种矩阵的范数,它是和向量范数相联系而且和向量范数相容的,即
Ax?A对任意向量x?R及A?Rnn?nx
n?n都成立.为此我们再引进一种矩阵的范数.
n定义5(矩阵的算子范数) 设x?R,A?R,‖·‖是R上的向量范数,记
nA??maxx?0Ax?x??maxAx?x??1 (19)
则
A?是矩阵范数,称为
A的算子范数.进一步它还满足相容性条件
Ax??A?x? （20）
从而
A?也称为从属于向量范数
n?nx?n的矩阵范数.
定理3 设A?R,则
1?i?nj?1① 称为A的行范数. ② 称为A的列范数.
A??max?aijA1?max?aij1?j?ni?1n (21)
(22)
T??AA?表示ATA的最大特征值. 称为A的2-范数,其中max③
A2??max?ATA? (23)
证明 只就①，③给出证明，②同理.
① ① 设x??x1,x2,...,xn??0,不妨设A?0记
Tt?maxxi1?i?n,
n??max?aij1?i?nj?1n
n则
Ax??max?aijxj?t?max?aij1?i?n1?i?nj?1j?1这说明对任意非零x?R，有
n
Axx另一方面，设
0??? ,取向量
?????aijj?10n?,j?1,2,nxj?si?agijn...x0,显然
0x0??x1,x2,...,xn?T,其中
?1n0,且
Ax0的第i0的i0个分量为
?aijxj??aij??j?1j?1n这说明
Ax0??2,即
A????max?aij1?i?nj?1Tn③由于设ATA2??Ax??Ax??xT?ATA?x?0.
nTx?R,对一切,从而AA是半正定的.
A的特征值为
?1??2?...??n?0
?,?,...,?n为ATA的分别对应于?1,?2,...,?n的正交规范的特征向量，则对任一向量再设12x?Rn，有
x??ki?ii?1n,
nTki为组合系数
2A2x另一方面，取
222?x?AA?xi?1?n??1T2xx?kiTi?1?ki?ix??1则
A2Axx2?1T?ATA??1???12T?1?1x2
2A2?maxx?02??1??max?ATA?.
故
?,1还是比较容易的，由定理3看出,计算一个矩阵的而矩阵的2-范数
上不方便,但由于它有许多好的性质.所以,它在理论上是有用的.
AAA2在计算
定义6设A?Rn?n的特征值为
?i?i?1,2,...n?称
（24）
??A??max?i1?i?n为A的谱半径.
定理4(特征值上界) 设A?Rn?n,则
??A??A (25)
即A的谱半径不超过A的任何一种算子范数.
证明 设?是A任一特征值,x为相应的特征向量，则
Ax??x，由定义得
即
??x??x?Ax?A??A，所以??A??A.
进一步，有下面结果 定理5 设
x
A?为与某种向量范数
???相容的矩阵范数，则
??A??infA? （26）
证明 对任意矩阵A，总存在相似变换化A为上三角形,即存在可逆矩阵P，使
PAP?1???U
??diag??1,?2,...,?n?，各?i为A的特征值，U是主对角元为零的上三角矩阵
其中,
?u?ijn?n.
做矩阵
D?diag?1,??1,...,?1?n?,于是
其中矩阵B的元素为
??0
D???U?D?1???B?C
令
?0,bij???uij?j?ij?i????uij?j?i?1?,j?iQ?DP,则有
QAQ?1?C
矩阵A和C相似,所以有相同的特征值.
今规定向量范数令
??如下：
y?Qx，则有
A??maxx?0Ax?x?22?maxx?0QAxQx22
?maxy?0Cyy?C2??2?B2
因为?为对角矩阵，所以
?2????????A?其次,存在常数k>0,使
B2???K从而有
?A????A???K
?????0K, 上式就化为 今对给定的，取
??A??A????A???从而便证明了（26）.
定理6 如果A?Rn?n
为对称矩阵，则
A2???A?事实上,
2 (27)
2A2???ATA????A2?????A??由于
A2???ATA?2
,所以
A2也常记为
ASP并称为谱范数.
定理7 如果
B?1则I?B为非奇异矩阵,且
?I?B??1?11?B第六节 误差分析
(28)
其中‖·‖是指矩阵的算子范数.
前几节讨论了求解线性代数方程组的直接法.给出系数矩阵A和自由项b,求未知向量x.实践中,A和b往往是实验观测数据或是计算所得结果.因此我们处理的线性方程组成了
Ax?b实际上变
?A?A???x?x????b??b? （1）
?b，其中
?121314?A??131415?????141516???A或?b与?x的关系怎样,是人们十分关心的问题.
例1 例1 解方程组Ax现用绝对精确的计算(即不带任何舍入误差的计算)求解,可以看出
?x1?72b1?240b2?180b3??x??240b?900b?720b?123??2??x2?180b1?720b2?600b3??
此时,我们发现对于两组不同的自由项.
它的差只有?b?b?b????,?,???,而所得解x与x之差却是
T?x?~x?x???492?,1860?,?1500??T~T~Tb??b1,b2,b3?,b??b1??,b2??,b3???
~
换句话说,两组不同的右端其分量之差不过是,可是解的差却高达之1860倍.
对于这样的方程组,不管用什么样的数值方法，我们总很难(甚至不可能)算出合理的(与真正精确解相差不大的)解,像这样的方程组或矩阵A就叫做病态的.
定义1 如果矩阵A或自由项b的微小变化,引起方程组Ax?b解的巨大变化,则称此方 程组为病态方程组,矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,A为良态矩阵.
应该注意,矩阵的病态性质是矩阵本身的特性.下面我们研究方程组(1),希望能找出刻划矩阵病态性质的量,为了简单,先假设?A?0,讨论自由项对x的影响，再假设?b?0,讨论系数矩阵与解x的关系.
如果方程组(1)中系数矩阵A是精确的，自由项b有误差?b，相应的解为x???x?，则
A?x?x???b??b (2)
利用关系式
Ax?b
A?x??b即?x?A?1?b
两边取范数,有
?xx??bAx??bAA?1b
?xx故
?A?1x1A?b?AA?1Ax?b?AA?1b?b
A?1??bb??xx?AA?1?bb (3)
A是微小误差?A,相应的解为x?x?
?A??A???x?x???b (4)
这种情况比前一种情况复杂,A??A可能是奇异矩阵.为了简单,我们要求?A能够保证使A??A非奇异,因为
A??A?A?I?A?1?A? A?1?A?1I?A?1?AA??A如果b是精确的,由第六节定理7，当
时,
非奇异,从而
非奇异,且
?A??A??1?A?1?1?I?A??A?1?1?A??1?A?11?A?1?A
下面的讨论使用了更强的条件,即
A,于是
?x?即
A?1??A?x1?A?A?1?A?1??A?x1?A?1?A