?xx另一方面,(4)利用两边取范数,有
A??1?A??AA1?A?1?A??AA (5)
Ax?b有
?x??A?1?A?x?x??
?x?A?1?1?A??A?A?A?x??xA由此可以看出,量
（6）
A?1?A越小由A或b的相对误差引起的解的相对误差就越小,量
越大，解的相对误差就可能越大.所以量
化的灵敏程度,刻划了方程组的病态程度.于是引进下述定义
定义2 设A为非奇异矩阵,称数
A?1?AA?1?A实际上刻划了解对原始数据变
cond?A??A?1cond??A??A?1?A (7)
为矩阵A的条件数.
矩阵的条件数与范数有关,常使用的条件数有
??A?1??8??9?
cond2?A??A2?A当A为对称矩阵时
2?max?ATA???min?ATA??1cond2?A???2其中
不难证明,条件数具有下列性质: ① ① 对任何非奇异矩阵 A，都有cond (10)
?1,?n分别为A的绝对值最大和最小的特征值.
② ②
③ ③ 如果A为正交矩阵，则
?A??1; 11)
设A为非奇异矩阵,C≠0为常数，则cond?CA??cond?A? (12)
cond2?AB??cond2?AB??cond2?B? (14)
cond2?A??1 (13)
其中B为非奇异矩阵.
Ax?b的解对初始数据误差的灵敏度，其
值越大，这种灵敏度越高，即对很小的初始误差?b或?A，解x的相对误差就有可能很大，从
据以上的讨论可以看出，cond(A)反映线性方程组
而大大破坏了解的精确度.当cond(A)接近于1时，矩阵是良态的，否则是病态的.当A是正交矩阵时，cond2A?1,故正交矩阵是最稳定的一类矩阵。对病态系数矩阵解方程组或求逆矩阵，舍入误差的影响十分明显，因此应特别注意. 例2 例2 求矩阵A的条件数，其中
?? 解 因为
?121314?A??131415?????141516?? ?121314?A??131415?????141516??
所以
13?1?i?3j?112
?240180??72A?1???240900?720?????180?720600?? A?max?aij?3于是
A?1??1860,从而
cond??A??A所以A是病态的.
例3 例3 研究方程组
?1?A???2015
系数矩阵为
?10?4x1?x2?1?x1?x2?2 ??10?41?A???11??
1?51?5?1?,?2?,22有特征从而
如果用列主元素消元法,则交换方程次序
?1cond2?A???2.62?2
x1?x2?2???1?10x1?x2?1
有系数矩阵
1??1A1???1??101?
?1??1??2?2??1?10,??1?10;所以 2及相应的特征值1?1??1cond2?A1???1??1.022?2
cond2?A1?比cond2?A设x是方程组
~?小，并且cond?A?接近于1，这说明选主元的必要性.
21Ax?b的近似解，令
~ e?x?x (15)
称为解的误差向量,而令
r?b?A~x?Ae (16)
称为解的剩余向量或残余向量.
下面讨论剩余向量r和误差向量e的关系.由(3)式,有
rer1??cond?A?cond?A?bxbr当cond (17)
?A?接近于1时,
exb与ex相差不大.然而,当矩阵A的条件数cond?A?比较
rbex比较小时,
rb也可能很大.所以对病
大时，尽管比较小,但却可能很大；反之，当
态的方程组,不能单从r或e来刻划解的近似程度.
~对给定的近似解x，用(16)的左等式计算r,然后再用右等式计算e，如果r和e都是精确
~值, 则x?e是方程组Ax?b的真解.实践中由于舍入误差的影响,只能得到e的近似e,从而
~~~xx?e仍是x的近似值,但它的近似程度显然比
要高.
~~如果用高斯消元法或其它方法得到解方程
Ae?m?Ax?b的近似解x,记为x?1??~x,则m步的剩余向量
r?m??b?Ax?m? (18)
?r?m? (19)
?m??m?xe得近似解和的修正向量
x?m?1??x?m??e?m? (20)
e?m?公式(18),(1 9),(20)给出改善近似解x的迭代过程,当过程停止，这就是所谓迭代校正法.
~e?m?或
x?m?小于误差限?时，迭代