x
f?(x) f(x)
(0,1) - 单调减
(1,e)
- 单调减
(e,??)
+ 单调增
所以f(x)的单调增区间为(e,??),单调减区间为(0,1)和(1,e) (2)在e?x两边取对数,得x?mlnx．而x?1．所以m?由(1)知当x?(1,??)时,f(x)?f(e)?e．所以m?e． 5解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,??)，
xmx lnx1212(x?)?b?b2x2?2x?b22 (x?0) f'(x)?2x?2???xxx1?当b?时， f?(x)?0，函数f(x)在定义域(0,??)上单调递增．
2（2） ①由（Ⅰ）得，当b?②当b?1时，f/(x)?0,函数f(x)无极值点． 2111?2b11?2b时，f?(x)?0有两个不同解，x1?? , x2??2222211?2b11?2b?i) b?0时，x1???0?(0,??)，舍去， 而x2???1?(0,??),
2222此时 f?(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：
(x2，??) (0,x2) x2 x f?(x) f(x) ? 减 0 极小值 ? 增 由此表可知：b?0时，f(x)有惟一极小值点, x?ii） 当0?b?11?2b， ?221时，0 22222（3）由（2）可知当b??1时，函数f(x)?(x?1)2?lnx，此时f(x)有惟一极小值点 综上所述：当b?0时，f(x)有惟一最小值点, x?x?3?1 21?31?3)时，f'(x)?0, f(x)在(0,)为减函数 22141?3?当 n?3 时， 0? 1?1???，n32111?恒有 f(1)?f(1?)，即恒有 0?2?ln(1?) nnn1?当 n?3 时恒有ln(n?1)?lnn ?2 成立n1x?1（x?0) 则 h'(x)?1??令函数h(x)?(x?1)?lnx xx?x?1 时，h'(x)?0 ，又h(x)在x?1处连续?x?[1,??)时h(x)为增函数且x?(0,1111?n?3 时 1?1? ?h(1?)?h(1) 即 ?ln(1?)?0nnnn11?ln(n?1)?lnn?ln(1?)?nn11综上述可知 n?3 时恒有 ?ln(n?1)?lnn?2nn6解：（1） g'(x)??2x ?g'(2)??22且g(2)?1?a 22(x?1)故g(x)在点P(2,g(2))处的切线方程为：22x?y?5?a?0 2x?0得x?0， x2?1故f(x)仅有一个极小值点M(0,0)，根据题意得： （2）由f(x)?'d?5?a?1 ?a??2或a??8 3 （3）令h(x)?f(x)?g(x)?ln(x?1)?21?a 2x?1 h'(x)??12x2x1? ??2x??222222?x?1(x?1)?x?1(x?1)? 当x??0,1)?(1,??)时，h'(x)?0 当x?(??,?1)?(?1,0)时，h'(x)?0 因此，h(x)在(??,?1),(?1,0)时，h(x)单调递减， 在(0,1),(1,??)时，h(x)单调递增. 又h(x)为偶函数，当x?(?1,1)时，h(x)极小值为h(0)?1?a 当x??1时，h(x)???， 当x??1时，h(x)??? 当x???时，h(x)???， 当x???时，h(x)??? 故f(x)?g(x)的根的情况为： 当1?a?0时，即a?1时，原方程有2个根； 当1?a?0时，即a?1时，原方程有3个根； 当1?a?0时，即a?1时，原方程有4个根 7解：（1）y???2ax，切线的斜率为?2at，?切线l的方程为y?(1?at2)??2at(x?t) ??1?at21?at2?2at21?at2?t??令y?0,得x? 2at2at2at1?at2?M(,0),令t?0,得y?1?at2?2at2?1?at2,?N(0,1?at2) 2at11?at2(1?at2)22??MON的面积S(t)??(1?at)? 22at4at3a2t4?2at2?1(at2?1)(3at2?1)?(2) S?(t)? 224at4ata?0,t?0,由S?(t)?0,得3at2?1?0,得t?1 3a当3at?1?0,即t?21时, S?(t)?0 3a1时, S?(t)?0 3a当3at?1?0,即0?t?2?当t?1时,S(t)有最小值 3a1114?,?a? 处, S(t)取得最小值,故有233a2已知在t?故当a?41,t?时,S(t)min3241(1??)2134?2 ?S()?41234??32