华东师大通识限选课程“数学文化”
期终复习提纲
2012－2013学年第二学期
1. 观察数列0.01，0.001，0.0002，0.00003，0.000005，0.0000008，0.00000013，0.000000021，??。求通项，并求数列所有各项的和。
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2. 介绍公元前6世纪萨莫斯隧道的设计方法。
大约公元前５２５年，波利克拉特斯命令开凿隧道，这条隧道有１０４０米长，直径为２米，从山坡穿过达１００米之长。最初修建这条隧道的目的，是为了将水从山的另一侧引入城里波利克拉特斯自己的首府及周围地区。 尤帕利努斯是负责隧道设计的工程师。隧道挖掘工程分头从两端开始。尤帕利努斯可能在山上布置了一条柱杆线，以便确定每一侧挖掘的起始地点。在两端的挖掘工人相互靠近之前，工程进展一切顺利。最后，竟然发现两端未能会合。但是，它们的距离已非常近，隧道很容易地便被连接起来了。
3. 分别用刘徽（3世纪）、欧几里得（Euclid, 前3世纪）、达·芬奇、伯里加尔的方法证明勾股定理。
刘徽：刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。
达芬奇：
①：找一张12乘12的纸，如图中第一个图形画出边长为a和b的两个正方形，
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再做如图连线c，得到面积分别为a平方和b平方的两个正方形，以及两个直角边分别为a、b斜边长c的直角三角形； ②，用剪刀将六边形内部挖空，如上中图； ③，将纸沿右上图中虚线剪开；
④，将右半边纸翻面（上下翻）后与左边重新拼对；
⑤，将重新拼对的六边形按右下图所示连线，得到一个面积为c平方的正方形和两个直角边分别为a、b斜边长c的直角三角形；
⑥，推导：图①和图⑤中六边形面积相等，分别减去两个同形三角形，得到的分别是a平方加b平方，和c平方，于是可推得a平方+b平方=c平方，这个公式正是勾股定理。
英国数学家伯里加尔，用“水车翼轮法”（见下图）证明了勾股定理，他为自己的证法感到十分自豪，临终前要求儿子将其刻在自己的墓碑上。
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