练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示
一、填空题 1．?1?i1?i?4＝ 2．1?i＝ Arg?1?i?= arg?1?i? 3.已知z=??1?3i??1?i?1?3i??1?i?，则z= argz= 4.将z=－cos?5 + isin?5表示成三角形式为 表示成指数形式为Argz= argz=
5.3－i的三角表示形式为 ，指数表示形式为
二．分别就0＜???与-?＜?＜-?2两种情形将复数z=1 - cos? + isin?化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。
三．利用复数表示圆的方程?a?0? a?x2
+y
2
?+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d是实常数。
四．求下列方程所表示的曲线 ①?1?i?z + ?1—i?z = 1
②zz－?2?i?z－?2?i?z = 4
五．证明
⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1
=z2
=z3=z2
=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。 =z3
=z4
，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两
⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1重合。
练习二 复数的乘幂与方根、区域 一、填空题 1．（1＋i）3＋（1－i）3＝ 2．3?1＝ 3．{z
1 是 4．0 ??1?3i? ??3（2） 1（2＋i2） 2三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。 四、画出 z?3?1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？ z?2五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。 六、求证：（1+cos?+isin?）n=2ncosn ?n?n?(cos+isin) 222练习三 复变函数、复变函数的极限和连续性 一、选择题 1．下列函数极限存在的是（ ） A．lim z?0Re(z)zz?2z?z?2zz1zlim B. lim C. lim D. (－) 2z?0z?0z?0zzzz?12iz2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=A．W=Z B.W=Z2 C.W= 1的映射函数f(z)为（ ） 41 D.W=Z Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（ ） A.u=x2+y2 v=2xy B.u=2xy v=x2-y2 C.u=x2 v=2xy D.u=x2+y2 v=2xy 4．两个实二元函数u= 5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（ ） A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4 2 二、考虑f(z)= zz+在z=0的极限 zzA．f(z)=z B.f(z)=e(cosy+isiny) C.f(z)= x z1 D.f(z)= zz 三、函数W= 4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（ ） 1把下列z平面上的 曲线映射成W平面上怎样的曲线？ A． ?u?v?u?v= =- Z（1）y=x (2) x=1 (3) (x－1)2+y2=1 四、试讨论函数 ??xyx2?y2f(z)=?z?0? 的连续性 ??0z?0?练习四 解析函数的概念 函数解析的充要条件 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A．如果f(z)在z0连续，那么f'(z0)存在 B．如果f'(z0)存在，那么f(z)在z0解析 C．如果f(z)在z0解析，那么f'(z0)存在 D．如果z0是f(z)的奇点，那么f(z)在z0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（ ） A. f(z)＝z2 B. f(z)=x+2yi C. f(z)=z2 3．下列函数在复平面内处处解析的是（ ） f(z)=1z ?r?????rB. ?u1?v?r=?u1?vr?? ??=-r?r C. ?u1?v?v?r=r?? ?r=-1?ur?? D. ?u?r=r?v?? ?u?v??=-r?r 5．下列说法正确的是（ ） A．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)＋g(z)的一个奇点 B．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)－g(z)的一个奇点 C．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)g(z)的一个奇点 D．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)/g(z)的一个奇点 二．设ay3 +bx2 y+i(x3 +pxy2 )为解析函数，试求a,b,p之值。 三．下列函数在何处可导，何处解析，并求可导处的导数 1．f(z)= 13232 z2?1 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y-3xy)+i(x-3xy+1) 四．设f(z)=u+iv=?ei?为解析函数，证明：若函数u,v,?,?之一恒等于常数，则函数f(z)亦为常数。练习五 初等函数 一．填空题 1．i2-i = (-1) 2 = 1i= 3 D. 2.e 1?i?2= e ln(1-i) = 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二．解方程 1．sinz+1=0 z为复数 2．e z =-1 z为复数 三．求22i 的主值及主值的辐角主值 四．当z=x+iy时，试证下列不等式 （1）sinz?12e?y?ey (2)tanz?ey?e?yey?e?y 练习六 复变函数积分的概念 柯西——古萨基本定理 复合闭路定理 一．填空题 1． 设C为正向圆周：z=3 则?dz= cz?2?dz= dz= (n为大于cz?4?n1的正整数) c?z?2?2． ?dzcz(z?1)= 其中C为正向圆周：z＝2 3． ?zzdz＝ 其中C为正向圆周：z＝4 c4． ?dz＝ 其中C为正向圆周：zcz2?2z?4＝1 5． ?dzcz(z2?1)＝ 其中C为正向圆周：z?12 二．求?Rezdz和?Rezdz，其中?1和?2的起点和终点相同，都是0和1＋i，但路径不同，?1是连接这两点 ?1?2的直线段，?2是经过z=1的折线段。 三．试求下列积分的值 ?2z?1dz cz2?z（1）c={z z?14} (2)c={z z?112?4} (3)c={z z?1?14} (4)c={z z?2} 四．设0 R?Z(R?Z)Z沿圆周z?r（正向）的积分，并由此推证 2? 1?R2?r22?d0R2?2Rrcos??r2??1 练习七 原函数与不定积分 柯西积分公式 一．填空题 4 iz1． ?e 其中C为正向圆周：z?2 cz??dz＝21?i2． ?zezdz＝ 13．若fn(z)=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)(zi?zj;i?j,i,j=1,…,n,n>1),又若封闭曲线C不通过每一点zi,则积分 ?dzcf能取 个不同的值。 n(z)4． ?2z?1z?1z2?zdz＝ 25． sinzdzz??i?3z?i＝ sinzdz＝ z?2??2z?i?ez二．求积分dz其中Ccz(z?2i)为正向圆周：z?3i?4 三．求函数z2?1z2?1沿正向圆周C：z?z0?1的积分值，设圆周C的圆心分别在： （1）z10=1; (2) z0=2; (3) z0=-1; (4) z0=-i 四．设f(z)=3?2?2??1d? ???2??z(1)试证f(1)=4?i (2)当z?2时，试求f(z)之值 练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系 一．填空题 1．zezdz＝z??1)2 ?2(z2． sinz2dz＝ z?zn?13．如果二元实变函数f(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足 ，那么称f(x,y)为区域D内的调和函数。 4．区域D内的解析函数的虚部 （是，不是）实部的共轭调和函数，实部 （是，不是）虚部的共轭调和函数。 是不通过z)=?z4?z2二．设C0的简单闭曲线，试求g(z03的值。 c(z?z0)三．求积分 ?sinz2dz的值，若C为正向圆周： cz(z?1)（1）z?12 （2）z?1?1112 （3）z?2?3 四．已知u?2(x?1)y为调和函数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv 练习九 复数项级数 幂级数 一．选择题 1．下列数列极限不存在的是（ ） 5