复变函数单元练习（三）
一、 判断题（正确打√，错误打?）
1.设C为f(z)的解析域D内的一条简单正向闭曲线,则?Cf(z)dz?0 . （ ）
2.若u,v都是调和函数，则f(z)?u?iv是解析函数。 （ ）
3.设f(z)在单连通区域D内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，C为D内的一条正向闭曲线，则?CF(n)(z)dz?0. ( )
4.设v?v(x,y)是区域D内的调和函数，则函数f(z)?v?y?iv?x在D内解析。 ( )
?2u?25.若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内解析，则函数?x?y?u?y?x. ( ) 二、填空题
1.设C为从点z1??i到点z2?0的直线段，则?Czdz?_______.
2.若C为正向圆周z?2，则?1Czdz?________.
3.若C为正向圆周z?1，则?C?ln(z?2)?(z2?1)cos(z5?1)?dz?________.
4.若函数f(x,y)?epxsiny为区域D内的调和函数，则p?_____.
5.若f(?)?2z2?z?1dz，??2，则f(3?5i)?_____,f(1)?____z??2z??.f?(1)?____. 三、计算、证明题
1．设点A，B分别为z21?i和z2?1?i，试计算?Czdz的值，其中C为
（1） 点z?0到点z2的直线段；（2）由点z?0沿直线到z1再到z2的折线段OAB.
2．设C为从-2到2的上半圆周，计算积分?2z?3Czdz的值。
3．计算?i0coszdz
4．计算?2z?1?2iC(z?1)(z?2i)dz，其中C为正向圆周z?3.
5．计算积分1ez2?i?Cz(1?z)3dz，(1)当点0在C内，点1在C外；(2)当点1在C内，点0在C外；(3)当点0，1均在C内；(4)当点0，1均在C外。
6．证明u(x,y)?y3?3x2y为调和函数，再求其共轭函数v(x,y)，并写出f(z)?u?iv 关于z的表示式。
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复变函数单元练习（四）
一、判断题（正确打√，错误打?）
1.数列zn?(?1)nin?n必收敛。 （ ）
?2.设zn?xn?iyn，则级数?zn收敛的充要条件是级数???xn与n?0?yn都收敛。（n?0n?03.每个幂级数必在其收敛圆上收敛。 （ ） ?4.若幂级数?an(z?1)n在z?i点收敛则它必在z??i点收敛。（ ）
n?1?5.若幂级数?anzn在z?2i处收敛，则它必在z??1处收敛。 （ ）
n?1二、填空题
1. 设???anannz的收敛域为z?R，则幂级数?(z?1)n的收敛域为______. n?1n?1n?2.幂级数?n(z?i)n的收敛圆的中心为______,收敛半径为_______. n?12n3.函数f(z)?tanz在z0??4处所展泰勒级数的收敛半径为_______.
??4.设f(z)?coszz2(z?i)的罗朗级数展开式为n?cn(z?i)n，则其收敛圆环域为
???(A) 1?z?i???； (B) 0?z?1或1?z???； (C) 0?z?i?1或1?z?i???； (D) 0?z?i?1 .
三、计算、证明题
1．将函数f(z)??zez20dz在z0?0处展开成泰勒级数，并指出其收敛半径。
2．将f(z)?1z(1?z)2分别在下列圆环域内展成罗朗级数
(1) 0?z?1
(2) 1?z?1???.
3．将f(z)?1z2(z?2)3在圆环域0?z?2?1内展开成罗朗级数。
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）
复变函数单元练习（五）
一、判断题（正确打√，错误打?）
1. z?0必为f(z)?zsin1z的可去奇点。 ( )
2.若f(z)?(z?z0)mg(z)，且g(z)在z0点解析，则z0必是f(z)的m极零点。( ) 3.若z0是f(z)的m级(m>1)极点，则z0必为f?(z)的m+1级极点。 ( ) 4. zz0=0是
tanz的可去奇点。 （ ） ?5.已知1(z?1)(z?2)??(?1)n(z?2)?n?2在1?z?2???内成立，由式中c?1?0知，
n?0Res??1?(z?1)(z?2),2????0. （ ）
二、选择、填空题
11. z0?1为函数(z?1)2ez?1的______.
(A) 二级零点； （B） 一级极点； (C) 可去奇点； (D) 本性奇点。 2. z0??1是f(z)?ln(1?z)的______.
(A) 非孤立奇点；（B）一级极点； (C) 可去奇点； (D)本性奇点。
3. zcosz0=0为函数z2sinz的____级极点。
4. Res??z?(z?2i)2,?2i????________. 5．?2z?1sindz?______.
3z三、计算、证明题
1．判别下列函数的孤立奇点的类型，对其极点，指出其级数：
（1） f(z)?tanz
（2）g(z)?ezz2(ez?1)
2．求下列函数在有限孤立奇点处的留数：
（1）f(z)?1?coszz2
（2）f(z)?z?1z2?2z
）f(z)?1?e2z（3z4
4）f(z)?1?z4（(z2?1)3
3（5）f(z)?zez
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复变试卷
一、判断题（正确打√，错误打?.）
1.复函数W?f(z)表示平面上的一条曲线。 （ ） 2.函数f(z)在区域D内处处可导,是f(z)在D内解析的充要条件。 （ ） 3.若f(z)在区域D内解析, 则f(n)(z)在
D内处处连续。 （ ）
4.设f(z)与g(z)在D内处处解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线且它的内部全含于D，
如果f(z)?g(z)在C上处处成立，则在D内必有f(z)?g(z)处处 成立。( )
5. z?0sinz必为z的一级极点。 （ ）
6.若f(z),g(z)是解析函数，且f(z0)?g(z0)?0,g?(z)?0，则
limf(z)z?z?f?(z0)0g(z)g?(z . （ ） 0)7.*?ezsin3z2)3dz?dz . ( z?1(z?5z?6z?2?5) ?2z?8.函数f(z)?ez在z(z?2i)n0?2i处所展成的泰勒级数为?n?0n!.（ ）
?19. Res?ez??,0??e （ ） ??1?z???二、填空题
1.若等式
x?iy?a?ib，（其中a,b,x,y均为实数）则a2?b2x?iy?______. 2.设f(z)?(1?z)e?z，则f?(z)?_________________. 13. ii?_____________.
4.函数w?1z将z平面上的直线x?c（c?0）映射到w平面上的曲线方程为_______________. ?5.幂级数?zn的收敛半径为_______.
n?0n!6.
?sin1z?11zdz?_______. ?27.* Ln(1?3i)?_______________.
8.* Res?1?cosz??z2,0????_______.
三、计算、证明题
1．设f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)在复平面处处解析，求实常数a,b,c,d的值
2.设C为z?(1?i)?2的正向, 求?dzC(z?1)2(z2?1).
3.求方程eiz?1?0的全部解。
4.将函数f(z)?1z2(z?1)2分别在圆环域0?z?1和1?z???内展成罗伦级数。
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