对应的,方程有两个复值解
e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t), .
根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解
. 2.1.2 特征根有重根的情形 设特征方程有重根则众所周知
F(?1)?F'(?1)???F(k?1)(?1)?0,,
先设,即特征方程有因子,于是
,
也就是特征方程的形状为
,
dnxdn?1x而对应的方程L?x??n?a1n?1???an?1?anx?0变为
dtdtdnydn?1ydky n?a1n?1???an?kk?0.
dxdxdx 易见它有个解1, ,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解1,.如果这个重根,我们作变量变换,注意到
m(m?1)2(m?2)??x(m)?(ye?1t)(m)?e?1t?y(m)?m?1y(m?1)??1y????1my?2!??
，
可得
dnydn?1y?1t?1t L??ye???(dtn?b1dtn?1???bny)e?L1?y?e,
?1t于是对应方程化为
dnydn?1y L1?y??n?b1n?1???bny?0,
dtdt其中仍为常数,而相应的特征方程为
G(?)??n?b1?n?1???bn?1??bn?0, 直接计算易得
(???1)t?1t(???1)t?t???F(???1)e(???1)t?L?e?Lee?G(?)e, 1????因此
,
从而
，,
这样,问题就化为前面讨论过的情形了. 2.2常数变易法
常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。在常数变易法中，通过将常数C放入当中就可以得到非齐次线性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。
对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一
个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.
求常微分方程的通解. 解 方程对应齐次方程为 , 其特征方程为
.
由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.
若为上面方程的实根,则是方程的解.由常数变易法设的一个解为,代入原方程并化简得
c\(t)?(2??p)c'(t)?e??tf(t), 这是关于的一阶线性微分方程,其一个特解为
c(t)???e?(2??p)t???e(??p)tf(t)dt?dt,
??从而得上面方程的一个特解为
x*?e?t??e?(2??p)t(?e(??p)tf(t))dt?dt. ?? 若为上面方程的复根,我们可以设且，则是方程的解，根据常数变易法可设其一个特解为，与情形1的解法类似得方程的一个特解为
x*?eatsinbt?e?(p?2a)?f(t)e(p?2a)tsinbtdtsinbt2dt.
由于是特解,则积分常量可以都取零.
2.3拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是工程数学中常用的一种积分变换法，又名拉氏转换法。拉氏变换法是一个线性变换法，可将一个有因数实数的函数转换为一个因数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解，这往往比较简单。
由积分
.
所定义的确定于复平面（）上的复变数的函数,称为函数的拉普拉斯变换,我们称为原函数,而称为像函数.
拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方
便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数。
d2xdx 求解方程 2?2?x?e?t,x(1)?x'(1)?0.
dtdt 解 先使，将问题化为
d2xdx?2?x?e?(t?1),x(0)?x'(0)?0, 2dtdt再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到
s2X(s)?2sX(s)?X(s)?11?, s?1e因此
, 查拉普拉斯变换表可得
, 从而
, 这就是所要求的解.
当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了。
3 常微分方程的简单应用
为直观的了解常微分方程的简单应用，本文特选取动力学方程当中简单应用常微分方程。通常来说，对于物理问题进行求解主要应该分为以下三个步骤内容：第一步是对问题进行分析从而做到对方程的建立并且对定解条件进行明确；第二步是对解的性