质进行讨论或者求出方程以便满足初始条件的特解；第三步是定性分析对解，对原来问题反着进行解释，其中最为关键的因素就是要将方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬时变化法。而在对阻尼振动进行研究的过程当中，对运动方程所进行的求解这一问题显得比较复杂，以下就分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程。 3.1 特征方程法
例如在弹簧振子系统当中，测试出物体的阻尼系数，物体质量,该弹簧所具备的劲度系数,在此背景下，假设整个质点从静止状态开始逐步运动，求解弹簧振子的位移方程。
解：按照牛顿的第二运动定律的结果可以得到
, （1） 或
, （2） 相对来说振动系统这是之前给定的，其中的常量为，如果可以确定,那么以上的方程式可以转变为：
, （3） 那么把所得到的数据代入公式（3）就可以得到 . （4） 通过对以上公式的细致观察和研究则可以得到对其进行求解能够使用特征值法，那么在这里的特征方程可以表述为：,并且在这一特征方程当中包含有两个分别根,这样相对应的则(4)的两个根分别为
（5） 那么按照公式（5）进行计算可以得到固有角频率数值为，
在这时候阻尼系数值为,也就是说,则方程(5)的解可以表述为
（初始条件觉得数值）. （6） 在公式（6）当中，所保持的属于一个非振动状态，在如此背景之下，所存在的质点也只是在原先的不平衡位置逐步恢复到平衡状态当中，质点并不具备周期振动的特征。而我们的关注点是在基于此种情况下,质点呈现出逐渐衰减的振动。可是正是由于受到阻尼作用的影响，不能够长久的维持这种自由振动系统的振动，通常都会经历着从振动的逐渐衰减延续至振动停止，为了保持震荡持续不停的状态，就必须不断的从外界当中获得必要的能量，学术界将这种因为受到外部持续作用而产生的振动归纳成为强迫振动。
又例如案例：假如在以上的振动系统当中受到某个外力的作用，在公式当中表示为驱动力所具备的幅度值，则表示为驱动力所拥有的圆频率，也就是驱动力所保持的频率。
解：在质点振动系统当中受到驱动力的作用，那么就可以得到关于系统振动的方程为：
, (7) 或者还可以将上述公式改成
d2xdx2??0x?Hcos(30t) 2?2?dtdt.
(8)
在以上的公式当中表示为在单位质量上面所受到的外力幅值。（7）与（8）这两个方程式都属于质点强迫振动方程。从本质上来看，这种强迫振动方程属于二阶的非齐次常微分方程，这个方程所得到的一般解也就是这个方程所得到的某一个特解和
相对应的齐次方程一般解两者之和。由于在之前的篇幅当中已经得到相对应的自由振动方程的一般解，这就导致其在的关键问题就是对于（8）当中的一个特解进行寻找，把所得到的数据代入到（8）当中就可以得到：
d2xdx 2?20?75x?100cos(30t),
dtdt（9）
在这里可以通过假设（9）有着这样的特解，将这个特别往（9）当中进行替代并且将其进行简化之后得到
?(33A?24B)sin30t?(24A?33B)cos30t?4cos30t,
按照比较同类项系数可以得到,这样就可以进一步得到,根据以上所得到的结果没那么原方程所存的通解就可以表述为 x(t)?Ae3244sin30t?cos30t. 555555在以上的公式当中，初始条件决定的数值，而其中的瞬态解
?5t?Be?15t?是之前的两项，瞬态项能够对于整个系统的自由衰减振动进行有效描述，而所能够起作用的只是在震动的开始阶段，而当经历比较长的时间之后，瞬态解所起到的影响则会逐渐的减弱并且在最后阶段消失。稳态解则是之后的两项，稳态解则是对于系统受到驱动力的作用之下进行强制振动的状态进行描述，这主要是由于立足于恒定的幅值条件下，从而将这种状态称之为稳定振动。从以上的公式可以得到，如果质点振动系统受到外力作用之后，整个系统有着比较复杂的振动状态，这属于稳态振动和自由衰减振动两者的有机合成体，在这样的振动状态之下对于强迫振动当中逐步建立稳态振动的过程进行有效描述。如果经历一定时间之后，就会消失瞬态振动，使得整个系统保持着稳态振动的状态。
3.2 常数变易法
从之前的分析当中可以了解到这属于特征方程的实根，那么就可以得到这个属于方程（9）当中的一个根，然后通过常数变异法设置，那么在这一过程当中也可以得到方程的一个解为，把数值代入到（9）当中并且进行简化之后可以得到
c\(t)?10c'(t)?e5t100cos30t.
以上属于的一阶线性微分方程,并且在方程当中一个特解为
84c'(t)?e5tsin30t?e5tcos30t?c1,
33从而得出（9）的一个特解为（取）
85t45t*?5t x(t)?e(?(esin30t?ecos30t)dt1?c2)
33 , 从而可得（9）的通解
x(t)?Ae?5t?Be?15t?3244sin30t?cos30t. 555555由之前可知
. （10）
将数据代入公式中可以得到
d2xdx 2?20?400x?cos(2t).
dtdt（11）
按照自己所做的观察可以发现，在进行求解的过程当中使用常数变异法，首要就是必须得出公式（11），而在之前的研究当中可以得到公式（11）齐次线性微分方程的特征方程为。这样就可以
进一步的假设特征方程的根为，那么这就是公式（11）的一个解。由常数变易法可设为
.
与情形1中的解法类似，将代入（12）并化简得
x*(t)?1099sin(2t)?cos(2t). 3960439604由于是特解,则积分常量可以都取零。 3.3 拉普拉斯变换法
依然使用之前的例子，由牛顿第二运动定律可以得到以下的公式
,
将这一公式代入数据之后可以得到
d2xdx 2?20?400x?cos(2t),
dtdt(12)
由于质点通过开设的静止状态逐步运动，那么就可以得到以下的公式
,
对方程(12)进行拉普拉斯变换,得到
s2X(s)?20sX(s)?400X(s)?s, s2?4即
,
把上式右端分解为部分分式