面积为：S?2?h110?z?b?1???dz?b?2，由于Z?h1?ytan?，所以 h11?h1?ytan?
图5 变位椭圆柱的切截图
2.求每一对应液面高度的体积
2.1当油面与斜放的椭圆柱的下柱面相交时即：h1?Ltan?
此时我们对每一个切截面的油面积从y1?0到y2?果即为储油量的体积。
V1?h1tan?进行积分，其积分结
?y2y12ab?h110b??z?b?dzdy?22?y2y12ab?h?ytan?10b??z?b?dzdy22
图 6油面上升立体图
2．2当油面交于椭圆柱两端面时
即Ltan??h1?1.2此时油面方程不变仍为：
z?h?ytan?1,h11?h1?ytan?
同理对其切截面及积分可得其体积，但对油面积分的上限变为了L，即：
V2??L2ab0?h?ytan?10b??z?b?dzdy22
6
图7油面淹没左端面最高点示意图
2.3当油面对斜椭圆柱的上柱面和端面相交时如图7
即2b?h1?2b?Ltan?，由油面的方程可得：设其右端面油面的高为h1则
h1?h?Ltan?1
设h2为油面与右端面交线到椭圆柱顶部的高：
h2?2b?h1?2b?Ltan??h1
由图7可知上下两阴影部分的体积相等。
所以油的体积V3=椭圆柱体总体积-对右上角没油部分对称的左下部分的体积。
对其右上没油部分的体积由对称性可将h2代入式子V1中计算。又因为椭圆
h2柱体的体积为?abL，所以V3??abL?代入h2?2b?Ltan??h1得
2b?Ltan??h1?tan?2ab0?h2?tan?0b??z?b?dzdy22
V3??abL??tan?2ab0?2b?Ltan??h?ytan?10b??z?b?dzdy
22设其油位探针的显示高度为h，则由几何关系可得h1?h?0.4tan?。将此关系带入V?f(h1)可得变位后探针高度与储油体积的关系如下 (1)当h?Ltan??0.4tan?时
V1?y2y1?2ab?h??y?0.4?tan?0b??z?b?dzdy22
（2）当?L?0.4?tan??h1?1.2?0.4tan?时
7
V2??L2ab0?h??y?0.4?tan?0b??z?b?dzdy22
（3）当2b?0.4tan??h1?2b??L?0.4?tan?时
2b??0.4?L?tan??hV3??abL??tan?2ab0?2b??0.4?L?tan??h?ytan?0b??z?b?dzdy
225.2椭圆柱体的储油罐的罐容表
在MATLAB的环境下计算油浮子的所显示的高度每改变1cm时的储油体积（即变位后的储油罐的罐容表）。其罐容表见表1。纵向变位时的数据拟合结果如 下。
5000实实理理际际论论数数数数据据拟合曲线据据拟合曲线 40003000200010000-1000 0200400600800100012001400
图8纵向变位时的数据拟合曲线 表1 椭圆柱纵向变位后的罐容表 油高(mm) 油量(L) 油高(mm) 油量(L) 油高(mm) 油量(L) 油高(mm) 油量(L) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
<=1.67 3.53 5.94 9.97 14.76 21.04 27.85 36.32 47.56 63.16 78.09 84.4 100.25 117.4 136.9 157.8 180.3 204 228.9 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 630.1 665.6 701.5 738 774.9 812.2 850 888.2 926.7 965.7 1005 1044.6 1084.5 1124.8 1165.3 1206.2 1247.2 1288.6 1330.1 8
610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 1841.8 1885.1 1928.5 1971.9 2015.4 2058.8 2102.3 2145.7 2189.1 2232.5 2275.8 2319.1 2362.3 2405.4 2448.4 2491.3 2534 2576.6 2619.1 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 3112 3151.2 3190.1 3228.6 3266.7 3304.4 3341.7 3378.5 3414.9 3450.7 3486.1 3520.9 3555.1 3588.8 3621.8 3654.2 3685.9 3716.9 3747.2 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 254.9 281.9 309.8 338.5 368.1 398.5 429.7 461.5 494 527.1 560.9 595.2 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 1371.9 1413.9 1456 1498.4 1540.9 1583.5 1626.3 1669.2 1712.2 1755.3 1798.5 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 2661.4 2703.6 2745.5 2787.2 2828.7 2870 2911.1 2951.8 2992.3 3032.5 3072.4 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 1180 1190 1200 3776.6 3805.3 3833 3859.8 3885.6 3910.3 3933.9 3956.1 3975.3 3995.5 4016.7 二、问题二的模型的建立与求解：
由题目可得，罐体变位后对标定罐容表的影响主要是罐体纵向倾斜和横向偏转。而要想根据罐内储油量与油位高度来建立数学模型，我们分为两种情况来讨论。
1只考虑纵向倾斜
由于在实际储油罐变位问题中我们利用了问题一的理论基础将储油罐分为5个部分，分别以储油罐左端面的最高点，圆柱右端面的最低点，两端球冠的顶点为边界，共4个分界点，如图9所示。由于储油罐在安放时是水平卧放的，经过土质的不均匀的压缩等原因导致出现纵向倾斜角度?，并且其?不会过大。所以我们假设??9.5?，根据此角度，通过计算可以定出油面上升时淹没4个分界点的顺序，其分段区域如图9中虚线所示：
图9分段区域示意图
在求储油罐的体积时，首先要求出两端球冠体的圆心坐标，为此，我们建立了球的俯视图，如图10所示，利用勾股定理求出该球冠的半径。 我们仍沿着平行于XOZ面切截球冠，从而得到该球冠的每个切面的表达式与该球半径的关系
R1?R??0.625?y?
22假设球冠所在球的半径为R，则由图10可得：R2??R?1??1.52。代入数据，
2计算可得球冠所在球的半径R=1.625m。
9
图10俯视图
因为油的高度可以在图9的分段区域的任何位置，所以求储油罐内油的体积时就要分为5中情况考虑，分别如下：
图11切割后截面油面积示意图
(1)当油面即没有超过左端球冠的左顶点又没有超过右端面的下底点时，所截的切面如图11所示，此时h1?8tan?。我们在求此部分的体积时，利用了问题一的原理，把图从坐标z轴分为两部分，一部分是由球冠体的一部分组成，另一部分是由所截的圆柱体的一部分组成。设球冠体中油量的体积V11，圆柱体中油量的体积为V1。
在求图11的体积时，我们采用垂直于y轴并平行于z轴的切面去切图，用三重积分的方法来求其体积。由于截面截球冠部分投影到z轴的阴影部分为圆，
R1为所以我们用圆的面积作为变量来求球冠的体积。假设所截的圆的半径为R1，
2变量。由勾股定理，得R2??R?1?y??R1，其中R=1.625m.即
22R1?1R??0.625?y?，由于截面是水平的，且倾斜角度为?，所以截面方程
22z?h?ytan?。每个切面的油面高度h11?h1?ytan?，所以切面的面积：
10