S?2?h111.5?R12R1??z?1.5?dz。
2假设油面中轴线与左球冠相交点为A，其相对于Ｙ轴的坐标为y0，则由三重积分的原理得到球冠的体积为：
V110h?ytan?1??y0.2?1.5?R1R??0.625?y???z?1.5?dzdy
222由于实际储油罐的主体为圆柱体，而问题一中的主体的椭球体，所以我们采用和问题一同样的方法求圆柱体的体积，表达式为：
h1V1?2?tan?02?h?ytan?011.5??z?1.5?dzdy22
即储油罐内油的总体积为：V1?V1?V112
图12第二种情况的示意图
(2)当油面在低于倾斜球冠的左顶点且高于圆柱右端面的最低点时所截的图如图12阴影部分所示。此时8tan??h1?1.5?tan?，储油罐内油量的体积可以分为三个部分讨论，分别为：左边球冠储油量体积V21,圆柱体部分的储油量体积
V22，右边球冠的储油量体积V23。
因为截面没有过左端球冠的左顶点，投影到z轴的切面也是圆的一部分，所
11以我们采用和第(1)种求球冠体积相同的方法，其表达式和V11相同，即： V2=V1。
在求圆柱体的体积时，其分析和问题一一样，只是这里被积函数不一样而已，因为这里的实际球罐是圆柱体，而第一问是椭球体，利用三重积分建立的表达式为：
V2?2?L02?h?tan?011.5??z?1.5?dzdy22
在求右端球冠的储油量体积时，其方法和左端一样，也是采用垂直于y轴并平行于z轴的切面去切球体，同理，利用三重积分可以建立体积的表达式，如下所示：
V2?3?y182?h?ytan?11.5?R2R??y?7.375???z?1.5?dzdy
222即储油罐内的油量的总体积为：V2?V21?V22?V23
11
图13第三种情况的示意图
(3)当油面在高于左球冠顶点低于右球冠顶点时所截的图如图13所示，此时：
1.5?tan??h?1.5?9tan?1。计算储油量的体积时和第二种情况一样，也是分成
23V3，V3。三个部分讨论，即球冠体的左右边和圆柱体中储油量的体积分别为V31，
在建立体积的表达式时，此时由于左端油面超出了球冠的左端顶点，在计算
这部分的面积时要分为两部分讨论，因为左端顶点到截点这段距离投影到z轴的阴影部分为圆的整体，所以这部分的面积的表达式和前面的不一样，同样用三重积分的方法，建立表达式为：
V3?1?y0?1?R1dy?2?0y02?h?ytan?11.5?R1R1??z?1.5?dzdy22
求圆柱体的体积和前面的方法一样，建立的表达式为：
V3?2??L02?h?ytan?011.5??z?1.5?dzdy22
同理，由于右端油面没有过右端最高顶点，所以其表达式和前面一样，即：
V3?3y182?h?ytan?11.5?R2R??y?7.35???z?1.5?dzdy222
所以储油罐内的油量的总体积为：V3?V31?V32?V33.
图14第5种情况的示意图
(4)当油面高于右球冠的顶点且低于圆柱左端面最高点时所截的图如图14所示，此时：1.5?9tan??h1?3.求储油量的体积仍采用分为三部分讨论。求左端球冠的体积时，其方法和第(3)问的一样，其表达式为：
12
V4?1?y0?1?R1dy?2??y00h?ytan?11.5?R1R1??z?1.5?dzdy?V3221
同理，圆柱体的体积也和前面的一样，即：V42＝V32。因为右端油面过了右端顶点，求其体积的时候要和左端求体积的方法一样，也是分为两部分讨论，只是这时右端和左端的球冠的方程不一样，被积函数也不一样，利用三重积分，建立的表达式如下：
V4?3?y182?h?ytan?11.5?R2R??y?7.35???z?1.5?dzdy?222?9y1?R2dy2
所以储油罐内的油量的总体积为：V4?V41?V42?V43
(5)当油面高于圆柱左端面低于油位探针的颈口时，此时：3?h1?3?2tan? 储油量的体积我们分为四部分讨论。首先，由于此时左端油面已经高过左端口，其体积即为球冠的体积，利用三重积分建立的表达式为：
V5?1?0?1?R1dy?2?0?122??R??0.625?y??dy
??由于油面过了左端球冠最高点，还没有到油位探针的位置，所以在求圆柱体的体积时，分为两部分讨论，一部分为左端最高点到油面的最高点，这部分的体积就为圆柱体的体积了，即：
V5???1.5?y1
22另一部分为圆柱体从油面最高点到右端球冠部分的圆柱体的体积，这部分和前面的一样，建立的表达式为：
V5?3?Ly12?h?ytan?011.5??z?1.5?dzdy22
最后右端球冠的体积和前面的方法一样，建立的表达式为：
V5?4?y182?h?ytan?11.5?R2R??y?7.35???z?1.5?dzdy?222?9y122??R??y?7.35??dy??所以球罐内的油量的总体积为：V5?V51?V52?V53?V54
这里我们对建立的模型取了不同的高度和倾斜角度来检验模型的准确。其中纵向倾斜角度??3?时高度间隔10cm时的罐容表标定值见如表2所示。
表2.储油罐为主体圆柱两端为球冠其只纵向偏移3?时的罐容表
油位高度 0 100 200 300 400 500 600
油量(纵向和横向) 74.31491 383.669051 1002.000078 1988.832141 3287.159609 4883.629707 6715.762293
13
油位高度 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 油量(纵向和横向) 29284.88497 31108.07876 34943.96173 37761.79985 40550.41694 43293.44186 45961.35349
700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
2横向偏转倾斜时
8745.41834 10943.80179 13286.75517 15752.90982 18322.72985 20977.93662 23701.13933 26475.57014
2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 48574.88207 510775.6497 53462.58567 55708.65462 57791.88932 59684.30884 61386.90111 65062.23466 64956.99592
当储油罐有横向偏转倾斜时，设h0为没有横向偏转倾斜时，油位探针应该显示的高度；设h为有横向偏转时，油位探针应该显示的高度。因为储油罐的主体为圆柱体，两端为球冠体，所以该储油罐具有对称结构。由此可得当储油罐横向转倾斜后，其油面的水平高度没有变化，只是油位探针的位置发生了变化。设R为圆柱的半径，如图所示为横向转倾斜后正截面图：
图15横向倾斜与无横向倾斜时的关系图
由平面几何关系可得： （1）当h0?R?1?cos??时，h=0； （2）当R?1?cos???h0?2R?Rcos?时，
h?cos??h0?R?1?cos??即：h?h0?R?1?cos??cos?；
（3）当2R?Rcos??h0时，横向转倾斜后的油位探针位置达到最大值2R，即
h=2R。
综上所述，没有横向偏转倾斜的油位探针应该显示的高度h0与有横向偏转倾斜的油位探针应该显示的高度h的关系如下：
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?0??h?R?1?cos?h??0cos????2R?h0?R?1?cos??
R?1?cos???h0?2R?Rcos?2R?Rcos??h0在此题中，由题意可知该圆柱体的半径R=1.5（米）。所以此题中h和h0的关系为：
?0??h?1.5?1?cos?h??0cos????3?h0?1.5?1?cos??
1.5?1?cos???h0?3?1.5cos?3?1.5cos??h0当储油罐既有纵向倾斜又有横向偏转时，又上表达式可得： 当1.5?1?cos???h0?3?1.5cos?时
h0?h?1.5?cos??1.5
设该储油罐体只纵向倾斜时的油位探针的显示高度为h1则：
?h0??h?1.5?cos??1.5?1 h1?h?0.4tan???h0?h1?解此方程组可得：h1??h?1.5?cos??1.5?0.4tan?
h?h?0.4tan??1.5cos?1?1.5
因为h?0，所以
h?0.4tan??1.5cos?1?1.5?0
解此方程可得：h1?0.4tan??1.5?1?cos?? 3当具有横向和纵向变位时
将只有纵向变位时油位探针显示高度h1与相应纵向变位时再横向变位?角的
?0.4ta?n带入变位时的油位探针显示高度h的对应关系h1??h?1.5?cos??1.5只有纵向倾斜时V=（h1）中即得到既有纵向变位也有横向变位时的油位探针的显示高度与储油罐所剩的体积的表达式如下： 1.当0.4tan??1.5?1?cos???h?7.6tan??1.5?cos??1?cos?时，
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