2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线上.）
1.函数y?cosx?cos2x(x?R)的值域为__ .
?b22.已知(a?bi)2?3?4i，其中a,b?R，i是虚数单位，则a2的值为__ .
3.圆心在抛物线x2?2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为__ .
1?4x2?x4.设函数f(x)?，则不等式f(1?x)?f(5x?7)?0的解集为__ ___. x25.已知等差数列{an}的前12项的和为60，则a1?a2??a12的最小值为__ . 6.已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为___ __.
7.在?ABC中，AB?5，AC?4，且AB?AC?12，设P是平面ABC上的一点，则PA?(PB?PC)的最小值为_____ .
n8.设g(n)??(k,n)，其中n?N，(k,n)表示k与n的最大公约数，则g(100)的值为=__ . *k?19.将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数随即填入3?3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ .
10.在1,2,3,4,,1000中， 能写成a2?b2?1(a，b?N)的形式，且不能被3整除的数有__ ____个.
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二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆O的方程为x2?y2?4，过点P(0,1)的直线l与圆O交于A,B两点，与x轴交于点Q，设QA??PA,QB??PB，求证：???为定值.
12.已知{an}是公差为d(d?0)的等差数列，且a1?t2?a2?t3?a3?t， （1）求实数t，d的值；
（2）若正整数满足m＜p＜r，am?2tm?ap?2tp?ar?2tr?0，求数组(m,p,r)和相应的通项公式an. 13.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，?ABD与?ABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC，BD交于点M,N，求证：PM?PN.
14.从1,2,3,,2050这2050个数中任取2018个数组成集合A，把A中的每个数染上红色或蓝色，求证：
总存在一种染色方法，是使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件： ①这600个红数的和等于这600个蓝数的和； ②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.
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参考答案
一、填空题
1.[0,]； 2.5；
3.(x?1)?(y?)?1； 4.(2,3)； 5.60； 6.83； 7.?29812265； 88.520； 9.
1； 1410.501；
二、解答题
11.
8 3证明：当AB与x轴垂直时，此时点Q与点O重合 从而??2，??28,????. 33当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在. 设AB:y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?由题设得：x1?1,0). k11x?x11??x1，x2???x2，即?????1??2?12. kkkx1kx2kx1x22222将y?kx?1代入x?y?4，得(1?k)x?2kx?3?0，
?2k?3xx?，. 121?k21?k2?2k8?. 所以????2??3k38综上，???为定值.
3则??0，x1?x2?第 3 页 共 12 页
12. ①t??131，d?；②(m,p,r)?(1,3,4)，an?(3n?11)； 2882323???a1?t?a1?d?t,?d?t?t,解：（1）由题，?即? 33??d?t?t,?a1?d?t?a1?2d?t,?2因为d?0，所以t?0,t?1，所以由2t?t?1?0得t??13,d?. 2813,d?， 281p1m1r1p得(p?m)d?2[(?)?(?)]，及(r?p)d?2[(?)?(?)]，
222231p1m31r1p即(p?m)?2[(?)?(?)]，及(r?p)?2[(?)?(?)]， 8228221p1m1r1p4也即3(p?m)?24[(?)?(?)]，及3(r?p)?2[(?)?(?)]，
2222（2）由an?2tm?ap?2tp?ar?2tr?0，t?? 两式左边都是正整数，故m?p?r?4，且m,p都是奇数， 所以m?1,p?3，r?4,a1??1. 验证如下：
11a1?2(?)??1?2(?)?0；
2219111a3?2(?)3???2(?)3?0；
2882112111a4?2(?)4???2(?)4?0.
28823311所以(m,p,r)?(1,3,4)，an??1?(n?1)=n?.
88813.
证明：因为I1,I2分别为?ABD和?ABC的内心，
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11?DAB，?I1BA??DBA， 2211?I2AB??CAB，?I2BA??CBA，
221故?AI1B?180?(?DAB??DBA)，
21?AI2B?180?(?CAB??CBA).
2所以?I1AB?在?ABD和?ABC中，?ADB??ACB， 所以?DAB??DBA??CAB??CBA， 从而?AI1B??AI2B，故A,I1,I2,B四点共圆.
1?DBA， 21则?PMN??MAI2??MI2A?(?CAB??DBA).
21同理，?PNM?(?CAB??DBA).
2因此?I1I2A??I1BA?所以?PMN??PNM，即PM?PN.
2222222214.证明一：注意到1?4?6?7?2?3?5?8?18，且1?4?6?7?2?3?5?8?102，
则(8k?1)?(8k?4)?(8k?6)?(8k?7)?(8k?2)?(8k?3)?(8k?5)?(8k?8)， 且(8k?1)?(8k?4)?(8k?6)?(8k?7)?(8k?2)?(8k?3)?(8k?5)?(8k?8). 把A中的8k?1,8k?4，8k?6,8k?7型数染成红色，
222222228k?2,8k?3，8k?5,8k?8型数染成蓝色.
因为2050?8?256?2，所以k?0,1,2,,256.
构造257个抽屉，第k?1个抽屉放置形如“8k?1,8k?2,8k?3，8k?4,8k?5,8k?6，8k?7,8k?8”的数，k?0,1,2,,255.第257个抽屉放置A中大于2048的数(最多2个数).
2050个数中任取2018个数按要求放入抽屉，至少填满224个抽屈(放入了8个数)，224个填满数的抽屉
每个抽屉都是4个红数和4个蓝数，其和相等且平方和相等.
取224个抽屉中的150个，4?150?600，共600个红数与600个蓝数，也有和相等，且平方和相等. 即存在600个红数与600个蓝数，这600个红数与600m个蓝数的和相等，且平方和相等. 证明二：注意到4?5?1?2?6?9，且4?5?1?2?6?41.
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