第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
初一
2012年4月8日
第2试
上午9：00至11：00 得分
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表
示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1. 下面四个命题：
（1） 若两个角是同旁内角，则这两个角互补。 （2） 若两个角互补，则这两个角是同旁内角。 （3） 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。 （4） 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。 其中错误的命题的个数是（ ） （A）1
（B）2
（C）3
（D）4
2.若两位自然数ab的质数，且交换数字后的两位数ba也是质数，则称ab为绝对质数，于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（ ） （A）1
（B）3
（C）7
（D）9
3.如图1，将边长为4cm的等边?ABC沿边BC向右平移2cm得
?DEF，DE与AC交于点G，则S四边形ABFD:S?ABC?（ ）
（A）3：2
4.有理数a,b,c在数轴上的位置如图2所示，O为原点，则代数式
（B）2：1
（C）5：2
（D）3：1
a?b?b?a?a?c?c?（ ）
（A）?3a?2c （C）a?2b
（B）?a?ab?2c （D）3a
5.The perimeter of a triangle is 18 ,while each side is an integer, if the longest side is not a prime number, then the number of such triangle is ( ) （A）4
（B）5
（C）6
（D）7
（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数）
6.77可以表示成n(n?2)个连续自然数的和，则n的值 的个数是（ ） （A）1
（B）2
（C）3
?（D）4
7.如图3，?ABC中，?BCA?90，点E在边CA上，点D和F在边BA上，若BC=CD=DE=EF=FA，则?A?（ ） （A）20
?
（B）18
?
（C）15
?
（D）12
?8.已知x,y是非负整数，且使（A）1
（B）2
x?14?y?是整数，那么这样的数对(x,y)有（ ）个。 23（D）2012
（C）3
9.身高两两不同的30个学生面向老师站成一排，其中恰有11个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（ ）人。 （A）11
（B）12
5（C）18
5（D）19
10.若x+y=3,xy=-1,则x?y?（ ） （A）33 （B）231
（C）123
（D）312
二、填空题（每小题4分，共40分）
11.计算：2012?2011?2013?2012?2011?2013?2011? 12.已知?ABC中，AB=2，BC=9，若AC的长是奇数，则AC=
13.若自然数x除以3余2，除以4余3，除以5余4，则x除以15所得余数是
32
14.If 4x2n?3y2m and ?7xm?2y6n are similar terms, then
(m?n)?mn=
15.如图4，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AD上，点F、G在BC上，并且AE=ED=BF=FG=GC，以A、B、C、D、E、F、G
这7个点中的三个顶点的三角形中面积最小的三角形有 个；面积最大的三角形有 个。
16.用黑、白两种颜色的1?1正方形瓷砖，按图5所示的方式铺地板；（图（1）中有3?5块瓷砖，以后各图都比前前一个加铺2?5块瓷砖），则有2014块黑色瓷砖的是图5中的第 个图。
17.图6是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最
高有三层，则此立体最少有 个小正方体，最多有 个小正方体。
18.1900年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（如果末两位数字为
00或01，则看成两位数00或01，其余类推），加上这个人今年的年龄数，所得的结果是 或 。（注：今年的年龄数=2012-出生年份）
19.已知正n边形A1A2A3?An?1An的面积是60，若四边形A1A2AkAk?1是一个面积为20的矩形，则这个正n边形的一个内角是 度。 20.P(x)?11514131x?x?x?x，则[P(2)?P(?2)]?
352330三、解答题
每题都要写出推算过程 21.(本题满分10分)
已知a,b,c都是整数，如果对任意整数x，代数式ax?bx?c的值都能被3整除。 证明：abc可被27整除。
22.（本题满分15分）
某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示： 工艺 粗加工 精加工 每天可加工药材的吨数 14 6 出口率 80% 60% 售价（元/吨） 5000 11000 2受市场影响，该公司必须在10开内将这批药材加工完毕，现有3种方案：
（A） 全部粗加工：
（B） 尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；
（C） 部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成。 问：哪个方案获得的利润最大？是多少？
23.（本题满分15分）
有一系列数，前两个数是1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字，请回答以下问题：
（1） 在这列数中能否依次出现相邻的2，0，1，2这四个数？说明理由； （2） 这列数中的第2012个数字是什么？说明理由。 一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C 二、填空题 题号 答案
三、解答题
21.设P(x)?ax?bx?c，则P(0)?c， 因为对任意整数x，代数式的值都能被3整除，
211 12 13 14 14 12 15 16 17 18 19 20 -2010 9 17；3 671 8；18 112；12 150 6