第4讲 二次根式
考纲要求 1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a)＝a(a≥0)． 2．能用二次根式的性质a＝|a|来化简根式． 3．能识别最简二次根式、同类二次根式． 4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
知识梳理 一、二次根式 1．概念
形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 要使二次根式a有意义，则a≥0. 二、二次根式的性质 1．(a)2＝a(______)．
? ?a≥0?，?
2．a2＝|a|＝?
? ?a<0?.?
22命题趋势 二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.
3．ab＝______(a≥0，b≥0)． 4．a＝______(a≥0，b＞0)． b
三、最简二次根式、同类二次根式 1．概念
我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．
2．同类二次根式的概念
几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
四、二次根式的运算 1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：a·b＝____(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法：自主测试
1．使3x－1有意义的x的取值范围是( )
1111
A．x＞ B．x＞－ C．x≥ D．x≥－ 33332．已知y＝2x－5＋5－2x－3，则2xy的值为( )
1515
A．－15 B．15 C．－ D．
223．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A．18 B．27 C．4．下列运算正确的是( )
A．25＝±5 B．43－27＝1 C．18÷2＝9 D．24·5．估计11的值( )
A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间 6．化简：27－12＋
4. 3
考点一、二次根式有意义的条件 【例1】若使
x＋1
有意义，则x的取值范围是________． 2－x
3＝6 2
2 D．3
3 2
a
＝____(a≥0，b＞0)． b
解析：x＋1与2－x都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x不能为零，
??x＋1≥0，
可得不等式组?解得－1≤x＜2.
?2－x>0，?
答案：－1≤x＜2
方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．
触类旁通1 要使式子
a＋2
有意义，则a的取值范围为__________． a
考点二、二次根式的性质 【例2】把二次根式a1－化简后，结果正确的是( ) a
A．－a B．－－a C．－a D．a 解析：要使a所以a答案：B
方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
触类旁通2 如果?2a－1?2＝1－2a，则( )
1111A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥ 2222考点三、最简二次根式与同类二次根式
【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( ) A．2x2 B．b2＋1 C．4a D．(2)在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是( ) A．2a B．3a2 C．a3 D．a4
解析：(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D选项中的被开方数中含有分母，故B选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a2＝3|a|，a3＝aa，a4＝a2，结合同类二次根式的概念，可得出a3与a是同类二次根式．
答案：(1)B (2)C
方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
触类旁通3 若最简二次根式
a＋b3a与a＋2b是同类二次根式，则ab＝__________.
1
x
1－＝aa
11
－有意义，必须－＞0，即a＜0. aaaa－a－2＝＝－－a. a－a
考点四、二次根式的运算 【例4】计算：(50－8)÷2.
解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3.
方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．
2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．
1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x－4有意义，那么x的取值范围是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
2．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 3．(2012浙江杭州)已知m＝?－
?
3?×(－221)，则有( ) 3?A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
x?2 012
4．(2012广东)若x，y为实数，且满足|x－3|＋y＋3＝0，则? ?y?的值是__________．5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m2)3＝m6，②4a2－4a＋1＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)
1．下列各式计算正确的是( )
A．2＋3＝5 B．2＋2＝22 C．32－2＝22 D．2．估计8×1＋3的运算结果在( ) 2
12－10
＝6－5 2
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．若a＜1，化简?a－1?2－1等于( )
A．a－2 B．2－a C．a D．－a 4．已知实数a满足|2 011－a|＋a－2 012＝a，则a－2 0112的值是( ) A．2 011 B．2 010 C．2 012 D．2 009 5．计算2
1－62
1＋8的结果是( ) 3
A．32－23 B．5－2 C．5－3 D．22
6．若x＋1＋(y－2 012)2＝0，则xy＝__________.
7．当－1＜x＜3时，化简：?x－3?2＋x2＋2x＋1＝__________. 8．如果代数式4
有意义，则x的取值范围是________． x－3
9．计算：(－3)0＋12×3＝__________. 10．计算：?
11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.
12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋
1
. 3＋21?－1
－23－(π－2)0＋|－1|. ?3?
参考答案
导学必备知识 自主测试
1
1．C 由题意得3x－1≥0，所以x≥.
3
55
2．A 由题意得2x－5≥0且5－2x≥0，解得x＝，此时y＝－3，所以2xy＝2××(－3)
22＝－15.