第二节 空间几何体的表面积与体积
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅰ，6,5分(表面积) 了解球、棱柱、棱锥、台2016，全国卷Ⅱ，6,5分(表面积) 2016，全国卷Ⅲ，10,5分(体积最大值) 2016，北京卷，6,5分(三棱锥体积) 2016，浙江卷，14,6分(体积最大值) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。
(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr＋2πrl，S锥＝πr＋πrl。
(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r1＋r2)＋π(r1
＋r2)l。
(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。 2．几何体的体积 (1)V柱体＝Sh。 1
(2)V锥体＝3Sh。
11422
(3)V台体＝3(S′＋SS′＋S)h，V圆台＝3π(r1＋r1r2＋r2)h，V球＝3πR3(球半径是R)。
微点提醒
1．求多面体的表面积，应找到其特征几何图形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁。求旋转体(除球外)的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和。
2．求几何体的体积，要注意分割与补形。将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。
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命题角度 本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时考查空间几何体的结的表面积和体积的计算公式。 构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。 一 、走进教材
1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。
1111
【解析】 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝3×2×2a×211147
b×2c＝48abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－48abc＝48abc，所以V1∶V2＝1∶47。
【答案】 1∶47
2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。
24
【解析】 旋转一周所得几何体为以5 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S＝2424336
π×5×6＋π×5×8＝5π(cm2)。
336
【答案】 5π cm2 二、双基查验
1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
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A．20π C．28π
B．24π D．32π
【解析】 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝2＋
2
2
3
2
＝4，圆柱的高h＝4，所以该几
1
何体的表面积S表＝πr＋ch＋2cl＝4π＋16π＋8π＝28π。故选C。
【答案】 C
2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A．12π C．72π
B．36π D．108π
【解析】 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为
2
2
?1?2
?－??2×6?＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球
的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π。故选B。
【答案】 B
3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。 【解析】 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr。解得r＝1，即直径为2。
【答案】 2
4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。
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【解析】 通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＋2
33＝2，通过侧视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝2。
3
【答案】 2 5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。
【解析】 如图，设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2a，在△ODC中， 7a223a??2?22
OD2＋DC2＝OC2，即a2＋??3?＝r，所以r＝3， 28
S球表＝4πr＝3πa2＝7π，
2
33
所以a＝4，即a＝2，
2
3?3?3923?V三棱柱＝4(2a)·2a＝23a＝23×??2?＝4。 9
【答案】 4 微考点 大课堂
考点一 空间几何体的表面积 【典例1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) - 4 -
A．8＋22 C．14＋22
B．11＋22 D．15
(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每28π
个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是3，则它的表面积是( )
A．17π C．20π
【解析】 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示。
直角梯形斜腰长为1＋1＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积1
为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×2×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22。故选B。
1
(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉8后剩下的几何体，设球742873
32
的半径为r，故8×3πr＝3π，所以r＝2，表面积S＝8×4πr＋4πr2＝17π。故选A。
【答案】 (1)B (2)A
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2
B．18π D．28π
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