反思归纳 以三视图为载体的几何体表面积的求法 1．恰当分析给出的三视图。
2．找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 3．注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。
【变式训练】 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )
11πA.2 C．11π
11π
B.2＋6 11π
D.2＋33
【解析】 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半。根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台1111
22
侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S＝2π×1＋2π×2＋2π(1＋2)×2＋2×(2＋11π
4)×3＝2＋33。故选D。
【答案】 D 考点二 角度一：以三视图为背景的体积问题 【典例2】 (2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm，体积是________cm。
2
3
空间几何体的体积……多维探究 - 6 -
【解析】 将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积V＝2×2×2×4＝32 cm，表面积为6×2×4＋6×2×2＝72 cm。
【答案】 72 32
角度二：利用割补法、换底法求体积
【典例3】 如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1
而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为( )
2A.2 2C.4 3B.3 D.2
3
2
【解析】 以正方形ABCD为底面，DD1为棱将题图补成一个正四棱柱ABCD－A2B1C2D1，如图所示。
∵截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，
∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半。
∵AA1＝CC1，易知∠D1BD为截面A1BC1D1与底面ABCD所成的二面角的平面角。
∴∠D1BD＝45°。
∵AB＝1，∴BD＝2，DD1＝2。
∴正四棱柱ABCD－A2B1C2D1的体积V＝1×1×2＝2。
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2
∴所求多面体的体积为2。故选A。 【答案】 A
反思归纳 1.分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积。
2.补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算。 3.换底法：三棱锥换底法通常在高或底面积不好求时使用。
4.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为棱锥的顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解。 考点三 与球有关的“切”、“接”问题……母题发散 【典例4】 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π C．144π
B．64π D．256π
【解析】 如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥111
2
O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝3×2R×R＝6R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR＝144π，故选C。
【答案】 C
【母题变式】 1.若本典例条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的半径。
【解析】 设球的半径为R，因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，
2
AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径。取BC中点D，则
OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝122＋52
13＝13，即R＝2。
13
【答案】 2 2．若本典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积。
【解析】 如图，设球心为O，半径为r，
9
则在Rt△AOF中，(4－r)＋(2)＝r，解得r＝4，则球O的体
2
2
2
44?9?3243π3?积V球＝3πr＝3π×??4?＝16。
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243π
【答案】 16
反思归纳 空间几何体与球接、切问题的求解方法
1.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题
转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。
2.若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，
PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解。
【拓展变式】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球。若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π C．6π
9π
B.2 32πD.3 【解析】 由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上344π279π
3
下底面相切，此时球的半径R＝2，该球的体积最大，Vmax＝3πR＝3×8＝2。故选B。
【答案】 B
微考场 新提升 1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) 16
A.3π C．16π
2
32B.3π D．24π
4
解析 设球的半径为R，则表面积是16π，即4πR＝16π，解得R＝2。所以体积为3πR3
32π
＝3。故选B。
答案 B
2．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为( )
A．15π C．30π
B．20π D．40π
解析 依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π。故选A。
答案 A
3．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
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A．9 C．12
B．10 D．18
解析 由三视图还原出几何体的直观图如图，SD⊥平面ABCD，AB与DC11
平行，AB＝2，DC＝4，AD＝3，SD＝3，所求体积V＝3×2×(2＋4)×3×3＝9。故选A。
答案 A
4．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________。
解析 由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，1?13?
??所以该三棱锥的体积V＝3×?2×23×1?×1＝3。
3
答案 3
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