新课标：袁轲教学资料（高中数学）
等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy
?na1(q?1) 前n项和：S?nn??a?1?1?q?（要注意!）?1?q(q?1)
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？
（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
如：?a1n?满足2a?11122a2????2nan?2n?5 解：n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14
n?2时，12a111?22a2????2n?1an?1?2n?1?5 ?1???2?得：12nan?2
∴an?2n?1
∴a?14n??(n?1)?2n?1(n?2) ［练习］
数列?an?满足Sn?Sn?1?53an?1，a1?4，求an （注意到aSn?1n?1?Sn?1?Sn代入得：S?4 n 又Sn1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4 n?2时，an?1n?Sn?Sn?1????3·4
（2）叠乘法
例如：数列?a?1n?中，a1?3，ana?n?1，求an nn
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?1?
?2?
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解：
a2aaa12n?11·3??n?·??，∴n? a1a2an?123na1n3 n 又a1?3，∴an? （3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加，得：
?????an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［练习］
数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an （an?1n3?1） 2?? （4）等比型递推公式
an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x
??x? 令(c?1)x?d，∴ ∴?an?d c?1??d?d是首项为a?，c为公比的等比数列 ?1c?1?c?1 ∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1d c???c?1c?1 ∴an??a1?［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an
?4? （an?8????3?
n?1?1）
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（5）倒数法
例如：a1?1，an?1?2an，求an
an?2 由已知得：1an?1?an?211 ??2an2an ∴1an?1?11? an2 ???1?11?为等差数列，?1，公差为
a12?an?111?1??n?1?·??n?1? an222 n?1 ? ∴an? 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求1 ?aak?1kk?1n 解：由n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n11?11? ∴??????
ak?1?k?1akak?1k?1d?ak
?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?
［练习］ 求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n1） n?1 （an??????，Sn?2? （2）错位相减法：
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
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如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1时，Sn?2?
1?x?nx???nn?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2????an?1?an?? ?相加
Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［练习］
x2?1??1??1? 已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2?????4?231?x
x?1? （由f(x)?f????2?x?1?x2x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1???3???1??4??1????x?2 ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???
?????????1???2?? ?11?1?1?1?3） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
n?n?1??? Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?r???等差问题
2?? △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x
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n?1??1?r?n?1?r??1? ?x? ??xr??1??1?r??? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n?1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：N?m1?m2????mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2??mn （mi为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.
An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?m?n?
?n?m?! 规定：0!?1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.
n?n?1????n?m?1?Amn! C?n ??m!m!n?m!Am??mmn 规定：Cn?1 （4）组合数性质： Cn?Cnmn?mm?101nn，Cm?Cmn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2
0 50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：
40
??