2.23 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
解：由动量守恒M船V船?m人v人?0 又
tS船??V船dt0t，
s人??v人dt??0tM船m人0V船dt?M船m人S船
如图，船的长度
L?S船?s人
3.6?1.2m 1001?50?S船?1?L?M船m人即船头相对岸边移动S船?1.2m
2.24 质量为20g的子弹以500ms的速度击入一木块后随木块一起以50ms的速度前进，（以子弹的速度方向为x轴的正方向）在此过程中木块所受的冲量为 （A）?9N?s；（B）9N?s；（C）10N?s；（D）?10N?s。 答案：A
2.25 三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均等于v。如果从中间船上同时以速度u把两个质量均为m的物体分别抛到前后两船上，速度u的方向和v在同一直线上。问抛掷物体后，这三艘船的速度如何变化？
解：设船质量均为M，抛掷物体后，三船的速度为v1,v2,v3.设船在水上的阻力为零，故
在水平方向上动量守恒。当u?v时，从中间船向前可抛出物体m， 由Mv?mu?(M?m)v1 ?v1?Mv?mu?v
M?mMv?mu?mu?Mv2 ?v2?v
Mv?mu?(M?m)v3 ?v3?Mv?mu?v
M?m
? 2.26 一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为EK，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为v?2kEKm ，v?2kEKm。
证明：设一块为m1，则另一块为m2， m2=km1及m1+m2=m 于是得 m2?kmm,m1? ① k?1k?1又设m1的速度为v1,m2的速度为v2，则有
T?联立①、③解得
1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222mv=m1v1+m2v2 ③ v1=(k+1)v-kv2 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v2?v)2 km于是有v2?v?2T km将其代入④式，有
v1?v?2kT m又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?证毕．
2kT2T ,v2?v?mkm2.27一个速率为v0质量m为的粒子与一质量为km的静止靶粒子作对心弹性碰撞。要使靶粒子获得的动能最大，k值应为
（A）越大越好；（B）越小越好；（C）等于1；（D）条件不足不能确定。 答案：C
2.28 一炮弹由于特殊原因在弹道的最高点处炸裂成两块，其中一块竖直上抛后落地，则另一块着地点
（A）比原来更远；（B）比原来更近；（C）仍和原来一样；（D）条件不足不能确定。 答案：D
-237
2.29 质量为7.2×10kg，速度为6.0×10m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒
7
子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×10m/s，求：
⑴粒子B的速率及偏转角； ⑵粒子A的偏转角。
解：两粒子的碰撞满足动量守恒
???mAvA?mAv'A?mBv'B
写成分量式：
mAvA?mAv'Acos??mBv'Bcos? mAv'Asin??mBv'Bsin?
碰撞是弹性碰撞，满足动能守恒：
1112mAvA?mAv'2?mBv'2AB 代入： 222mA?7.2?10?23kg， mB?mA?3.6?10?23kg， 2vA?6.0?107m/s，v'A?5.0?107m/s
解得：（1）??54?4'，v'B?4.69?107m/s；（2）??2220'
?
2.30 一质量为M的中子与一质量为M的原子核作弹性碰撞，如中子的初始动能为E0，试证明在碰撞过程中中子动能损失的最大值为4mME0(M?m)2。 证明：由完全弹性碰撞的公式v1?(m?M)v10?2Mv20
m?M1212mv10?mv1取最大值。 2212121m?M12m?M2m?M2v10)2?mv10()?E0() 由E0?mv10,E1?mv1?m(222m?M2m?Mm?M当v20?0时，v1取最小值，则?EK?∴中子动能损失的最大值?EKmax?E0?E0(4mME0m?M2 )?2m?M(M?m)
2.31 地面上竖直安放着一个劲度系数为k的弹簧，其顶端连接一静止的质量M。有个质量为m的物体，从距离顶端为h处自由落下，与M作完全非弹性碰撞。求证弹簧对地面的最大压力fmax?(M?m)g?mg1?2kh(M?m)g。 证明：
12mv?mgh,v?2gh，m与2mv。当M
m?MM作完全非弹性碰撞，
mv?(m?M)V,V?静止时，Mg?kx；当碰撞后，M与m速度减为零时，弹簧再压缩x'，则
fmax?k(x0?x')，∴弹簧对地面的压
力Nmax?fmax?k(x0?x')， 由机械能守恒，
1121(m?M)V2?(m?M)gx'?kx0?k(x0?x')2 22212m2gh'??0 化简得 kx'?mgx2m?M1m2gh1m2gh2222?x'?(mg?mg?2k)?(mg?mg?2k)
km?Mkm?M（因x'?0，舍去负号）
?fmax?kx0?kx'?Mg?mg?mg1?
2kh
(m?M)g???2.32 设合力为F?7i?6jN。
（1）当一质点从原点运动到时r?3i?4j?16k，求F所作的功。 （2）如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率。 （3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。 解：(1)由题知，F合为恒力，
∴ A合=F·r=(7i-6j)·(-3i+4j+16k)
=-21-24=-45 J (2)P???????A45??75?t0.6W
(3)由动能定理，ΔEk=A=-45 J
2.33若用一大小不变的力将该物体从静止加速提高到同一高度，使物体最后获得的速度为5.0m/s，问提升力作功多少？平均功率为多少？又开始时和结束时的瞬时功率各为多少？ 答案：5025J；251.3W；0；502.5W；（条件不明！似乎同题解：F?mg?ma，v?at
2.34）
1W?Fs?m(g?a)?at2?2625J
2WP??262.5W
t开始时刻v?0，?P?Fv?0；结束时，v?5.0m/s，?P?Fv?525W
2.34（1）以5m/s的速度匀速提升一质量为10kg的物体，问在10s内提升力作功若干？ （2）又若以比前快1倍的速度把该物体匀速提高同样的高度，试问所作的功是否比前一种情况大？为什么？ （3）在（1）、（2）两种情况下，它们的功率是否一样？
解：（1）W?Fs?mgvt?10?9.8?5?10?4.9?103J （2）W'?W?Fs?mgvt?10?9.8?5?10?4.9?103J （3）t'?sst,t?，v'?2v，?t'?， v'v2WW'P?,P'?，P'?2P。
tt'
2.35 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深。假定铁锤二次打击铁钉时的速度相同。
解：以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2.35图
f=-ky
第一锤外力的功为A1
A1??f?dy???fdy??kydy?ss01k ① 2式中f′是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，(忽略木板与钉之间的摩擦力)在dt→0时，f′=-f．
设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A2??kydy?1y212kky2? ② 22由题意，有
1kA2?A1??(mv2)? ③
22即
12kkky2?? 222所以，y2?2
于是钉子第二次能进入的深度为 Δy=y2-y1=2-1=0.414 cm
2.36 已知一质点（质量为m）在其保守力场中位矢r位点的势能为Ep(r)?kr，试求质点所受保守力的大小和方向。 解： F(r)?ndE(r)nk??n?1 drr