M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。
相关性质的证明
连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段
AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2
A.G.C.P共圆==>∠2=∠3
PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ
BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圆==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7
AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4
∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH
第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。
则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。
三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2
所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的\反\位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是\正\位似中心(相似点在位似中心的同一边)... 所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上....
五、托勒密定理
1、定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
证明
一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED?BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证 复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，两边
取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、
设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．
推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD?AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，
得不等式AC·BD?|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意：
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
六、欧拉定理：在一条线段上AD·BC+AB·CD=AC·BD 七、重要不等式
AD上，顺次标有B、C两点，则
1、均值不等式：
na1,a2?an?R?,则n?akk?1??akk?1nn
TIP:完全的均值不等式
√[(a^2+ b^2)/2] ?(a+b)/2 ?√ab ?2/(1/a+1/b) （二次幂平均?算术平均?几何平均?调和平均）
2、柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ? (∑ai * bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ? 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ? 0. 于是移项得到结论。 （2）用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我
们在教学中应给予极大的重视。
3.排序不等式
排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,?? a n, b 1 , b 2 ,?? b n 满足 a 1 ? a 2 ???? a n, b 1 ? b 2 ???? b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +??+ a n b1? a 1 b t + a 2 b t +??+ a n b t ? a 1 b 1 + a 2 b 2 +??+ a n b n 式中t1，t2，??，tn是1，2，??，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =??= a n 或 b 1 = b 2 =??= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和?乱序和?同序和. 证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）?0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
4.契比雪夫不等式
切比雪夫不等式有两个
（1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1?a2?a3?.....?an和b1?b2?b3?......?bn 那么，∑aibi?(1/n)(∑ai)(∑bi)
（2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1?a2?a3?.....?an和b1?b2?b3?......?bn
那么，∑aibi?(1/n)(∑ai)(∑bi)
5.琴生不等式
设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+??+xn)/n]?[f(x1)+f(x2)+??+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+??+anxn)]?a1f(x1)+a2f(x2)+??+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,??,n),且a1+a2+??+an=1.
6.幂平均不等式
n??aii?11? 幂平均不等式：ai>0(1?i?n),且α>β，则有
{n}?(∑ai^β/n)^1/
β成立
iff a1=a2=a3=??=an 时取等号 加权的形式：