课 题：函数应用举例1
教学目的：
1．了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型； 2．掌握根据已知条件建立函数关系式； 3.培养学生的数学应用意识.
教学重点：根据已知条件建立函数关系式 教学难点：数学建模意识.
授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．
在我们考察不同的预测方法之前，必须指出：预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．
2．指数函数y?ax(a?0且a?1)的图象和性质： 图 象 1a>1 601 32.50
数学模型与数学建模
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 三、讲解范例：
例1 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表 身高/cm 体重/kg 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 ⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数y?ax?b,
y?a?lnx?b，y?a?bx中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于
身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值．
⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
分析：根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数y?ax?b来近似反映．根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数y?a?b来近似反映
8080x707060605050f?x? = 2?1.02x40403030202010102040608010012014016020406080100120140160-10-10-20-20-30-30图 图 2
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图1； 根据图1，选择函数
1
y?a?bx进行拟合．
如果保留两位小数可得 a=2，b=1.02
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为y?2?1.02x
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象图 2，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系． ⑵将x=175代人y?2?1.02x得 y?2?1.02175 计算得 y=63.98， 由于
78?1.22?1.2， 63.98所以，这个男生体重偏胖．
注：①例1是实际应用问题．解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义做出回答．这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形． ②给出另两个函数的拟合结果 小结1：函数拟合与预测的步骤：
在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤： ⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图．
⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
例2 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，
用一个函数模拟该产品的月产量y与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数
y?a?bx?c（其中a,b,c为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪
个函数作为模拟函数较好，并说明理由 讲解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种
函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式 2设y1?f(x)?px?qx?r(p,q,r为常数，且p?0)，
y2?g(x)?a?bx?c，
?p?q?r?1,?ab?c?1,??2根据已知，得?4p?2q?r?1.2,及?ab?c?1.2, 解得
?9p?3q?r?1.3,?ab3?c?1.3,???p??0.05,q?0.35,r?0.7;a??0.8,b?0.5,c?1.4?f(x)??0.05x2?0.35x?0.7.g(x)??0.8?0.5x?1.4?f(4)?1.3,g(4)?1.35 显然g(4)更接近于1.37，故选用y??0.8?0.5x?1.4作为模拟函数较好 注：确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键 例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数出它的定义域.
分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.
架（如式，并写确，而且
解：如图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD=
m?2x??x
2m?2x??x?x2?因此y=2x·,
22即y=-
??42x2?mx
?2x?0?再由?m?2x??x
?0?2?m 2????42即函数式是y=-·x+mx 2m定义域是：（0，） ??2解之得0＜x＜
小结2：（1）数学应用题的能力要求
①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力；
（2）解答应用题的基本步骤
①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问题；④数学问题的解向实际问题的还原.
例4 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.
分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的
长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式.
解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上
设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角， 由此Rt△ADE∽?Rt△ABD.?
x2∴AD2=AE·AB，即AE=
2Rx2∴CD=AB-2AE=2R- Rx2x2所以，y=2R+2x+(2R-),即y=-+2x+4R
RR??x?0?2?x?0,解得0?x?2R 再由?2R??x2?0?2R?R?∴周长y与腰长x的函数式为：y=-
12 (x+2x+4R),定义域为：（0，2 R） R评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.
四、练习：
1．中国人口问题
“人口问题”是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础．由人口统计年鉴，可查得我国从1949年到1994年人口数据资料如下：
年 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1989 1994 人口(百万) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1106.76 1176.74 试估计我国2010年的人口数． 2．销售额问题
某县乡镇企业局，要求预测1990年～1991年轻工产品人均销售额，根据初步分析，人均销售额yt和人均国民收人xt的数据如下表所示，1990年及1991年人均国民收入计划值分别为514．1元/人、 550．l元／人． 年份 人均销售额yt(元/人) 人均国民收年份 入xt(元/人) 116 137 142 156 123 115 128 136 162 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 人均销售额yt(元/人) 0.78 0.94 1.00 1.05 1.10 1.18 1.22 1.36 1.45 人均国民收入xt(元/人) 197 226 238 258 254 269 270 188 348 1965 0.35 1966 0.37 1967 0.52 1968 0.67 1969 0.60 1970 0.57 1970 0.53 1972 0.59 1973 0.50