倒立摆课程设计报告
合并这两个方程，约去 P和 N，得到第二个运动方程：
（1-8）
设
，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1
d?2)?0。用u代表被控对dt象的输入力F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：
弧度， 则可以进行近似处理：cos???1,sin????,( （1-9）
2. 一阶倒立摆的传递函数模型
对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：
（2-1）
注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：
（2-2）
或
（2-3）
如果令错误！未找到引用源。，则有：
（2-4）
把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：
（2-5）
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整理后得到传递函数：
（2-6）
其中
。
3. 一阶倒立摆的状态空间模型
设系统状态空间方程为：
（3-1）
方程组（2-9）对x解代数方程，得到解如下：
..（3-1）
整理后得到系统状态空间方程：
（3-2）
（3-3）
1摆杆的惯量为I?ml2，代入（1-9）的第一个方程为：
3
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得：
化简得：
设x?[xx?..（3-4）
?],u?x 则有：
'..
（3-5）
4.实际系统的传递函数与状态方程
实际系统的模型参数如下:
M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量 0.2 Kg
b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m
I 摆杆惯量 0.006 kg*m*m
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代入上述参数可得系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数：
（4-1）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
（4-2）
（4-3）
以外界作用力作为输入的系统状态方程：
（4-4）
以小车加速度为输入的系统状态方程：
（4-5）
二、一阶倒立摆matlab仿真
实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真。
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M 小车质量 摆杆质量
1.096Kg 0.109Kg
0.1 N/m/sec
m
b
小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m
T 采样时间 0.005秒
1. 传递函数法 Matlab程序如下： M=1.096; m=0.109; b=0.1; I=0.0034; g=9.8; L=0.25;
q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2; num=[m*L/q 0 0]
den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0]; [r,p,k]=residue(num,den); s=p;
得到传递函数的分子： num =
2.3566 0 0
以及传递函数分母: den =
1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0 开环极点： s =
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