材料力学第三次作业答案（单辉祖 第三版）
（8-2（b）、（c），8-3, 8-6, 8-8, 8-9, 8-12（c））
8-2
（b）
解：由图可知，x、y截面的应力分别为
?x??30MPa, ?x?20MPa, ?y?10MPa
截面m-m的方位角为 ??22.5?
将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：
?30?10?30?10?cos45??20sin45? 22??38.28MPa ?30?10?m?sin45??20cos45?
2?0 （c）
?m?解：由图可知，x、y截面的应力分别为
?x?10MPa, ?x?15MPa, ?y??20MPa
截面m-m的方位角为 ???60?
将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：
10?(?20)10?(?20)?cos(?120?)?15sin(?120?) 22?0.49MPa 10?(?20)?m?sin(?120?)?15cos(?120?)
2??20.49MPa
?m?8-3
（a）
确定A
由坐标（10，-15），（-20,15）分别
和B点，然后以AB为直径画圆，得到相应的应力圆。
为确定m-m上的应力，将半径DA沿逆时针方向旋转|2?|?90?至DC处，所得C点即为截面m-m的对应点。
由图示几何关系知，A、C两点关于?轴对称，从而得到
?m?10MPa, ?m?15MPa
（b）
由坐标（40，20），（0,-20）分别确定A和B点，然后以AB为直径画圆，得到相应的应力圆。
为确定m-m上的应力，将半径CA沿顺时针方向旋转|2?|?60?至CD处，所得D点即为截面m-m的对应点。 由图示几何关系知：
AB402?402应力圆半径R???202MPa
22??30?OC?Rcos15??20?202cos15??47.32MPa
???30??Rsin15???202sin15???7.3MPa
?8-6
证明：
方法一：
设任意截面的方位角为?。 图示x、y截面的应力分别为
?x??, ?x?0, ?y??
将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：
cos2??0?sin2???
22??????sin2??0?cos2??0
2?可见任意截面上的正应力始终为?，切应力为0，与方位角?无关。 方法二：
?????????图示应力状态对应的两个点（?，0），（?，0）在坐标系中重合为一点，即应力圆缩为一点（?，0），那么不管任意截面转过多大角度，正应力始终为?，切应力为0。
8-8
（a）
8-8a解析法：
由图可知，x、y截面的应力分别为
?x?40MPa, ?x?20MPa, ?y?20MPa
根据平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：
?max??x??y1?52.36MPa22 ??(???)?4? =??xyx7.64MPa?min?22?最大应力的方位角
?0?arctan(??x?max??y)??37.2?
故三个主应力分别为
?1?52.36MPa, ?2?7.64MPa,?3?0,????31.72?
8-8a图解法
由坐标（40,20）与（20，-20）分别确定A与B点，然后以AB为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径
AB202?402R???22.36MPa
22?C?30MPa
?1??E?R??C?52.36MPa
?2??D?R??C?7.64MPa ?3?0
半径CA沿顺时针转到CE，故?0取负值。
?0??（b）
?ACE??31.2? 28-8b解析法：
由图可知，x、y截面的应力分别为
?x??40MPa, ?x??40MPa, ?y??20MPa
根据平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：
?max??x??y1?11.23MPa22 ?(?x??y)?4?x =????71.23MPa?min?22?最大应力的方位角
?0?arctan(??x?max??y)?52.2?
故三个主应力分别为
?1?11.23MPa, ?2?0,?3??71.23MPa,???52.2?
8-8b图解法
由坐标（-40,-40）与（-20，40）分别确定A与B点，然后以AB为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径
AB202?802R???41.23MPa
22?C??30MPa
?1??E?R??C?11.23MPa ?2?0
?2??D?R??C??71.23MPa
半径CA沿逆时针转到CE，故?0取负值。
?ACE?52.0? 2（c）
?0?8-8c解析法：
由图可知，x、y截面的应力分别为
?x??20MPa, ?x?20MPa, ?y?30MPa
根据平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：
?max??x??y1?37.0MPa22 ??(???)?4? =??xyx?min?22??27.0MPa最大应力的方位角
?0?arctan(??x?max??y)??70.67?
故三个主应力分别为
?1?37.0MPa, ?2?0,?3??27.0MPa,????70.67?
8-8c图解法
由坐标（-20,20）与（30，-20）分别确定A与B点，然后以AB为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径
AB502?402R???32.0MPa
22?C?5MPa
?1??E?R??C?37.0MPa ?2?0
?3??D??(R??C)??27.0MPa
半径CA沿顺时针转到CE，故?0取负值。
?0??
?ACE??71.0? 28-9
微元所在截面的剪力和弯矩分别为
Fs?20kN, M??F?1??20kN?m，即梁的上半部分承受拉应力。
微体A、B、C均处于平面应力状态。
微体A位于梁横截面的上边缘，此处拉应力取得最大值，弯曲剪应力为0。 微体A的应力图为
|M|6?20?103?A???60MPa 2Wz0.05?0.2此时?1?60MPa, ?2?0,?3?0,???0
微体B
微体B的应力图为
由梁的弯曲正应力公式，得：
?