25.已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
PQAD?（如图1所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图中，联结AP．当AD?为x，
3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S△APQS△PBC?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关
于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小． A
D
A
P
P Q B
图1
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P D
A
D
C
（Q） B
C
图2
B Q
图3
C
圆、相似、锐角三角函数测试题答案
一、选择题：（每小题4分，本题共40分）
1.D 2．D 3.D 4.B 5.B 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 二、填空题：（每小题4分，本题共20分） 11. 50°
12.（?2，0） 13. 7.5
14. x?3,y?6
x15.y?
1?x
三、解答题：（每小题6分，本题共30分） 16.
解：原式=4?12?2??3?3 22 =2-1+3
=4 17.
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF， ∴
AE2?AB2?92?62?117
ABBE6117?，即? DEEF2EF∴EF=18.
117 3解：（1）连结OM．∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB． 过点O作OD⊥MN于点D，
A O · C
1由垂径定理，得MD?MN?23．
2N
M D B 在Rt△ODM中，OM＝4，MD?23，∴OD＝OM2?MD2?2．
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故圆心O到弦MN的距离为2 cm． MD3?， OM2∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°．
（2）cos∠OMD＝
19.
20. 解：（1）证明：连接OA，
DA平分?BDE，??BDA??EDA． OA?OD，??ODA??OAD．??OAD??EDA． ?OA∥CE．
AE?DE，??AED?90，?OAE??DEA?90．
A ?AE?OA．
?AE是O的切线．
（2）
E D BD是直径，??BCD??BAD?90．
B O C ?DBC?30，?BDC?60，
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??BDE?120．
DA平分?BDE，??BDA??EDA?60．
??ABD??EAD?30．
?AD?2DE． 在Rt△AED中，?AED?90，?EAD?30，?BD?2AD?4DE． 在Rt△ABD中，?BAD?90，?ABD?30，DE的长是1cm，?BD的长是4cm．
四、解答题：（每小题5分，本题共10分）
21．解：过点C作CD⊥AB于D，则 在Rt△ACD中，AD=
CD=CD，
tan45?CD3=CD，
tan60?3 在Rt△BCD中，BD=
∴AB=AD-BD，即20=CD-
3CD． 3 解得，CD=（30+103）米，故气球高为（30+103）米．
22．已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC 于点E， EF⊥AB于点F，若CE=1，
4cos?AEF?，求EF的长.
5解：∵ AE⊥BC ， ∴ ∠AEF＋∠1=90°． ∵ EF⊥AB ， ∴ ∠1＋∠B=90°． ∴ ∠B=∠AEF ．------------------------------- 1分
4 ∴ cos?B?cos?AEF?．
51
∵ 在Rt△ABE中，?AEB?90?， ∴ cos?B?BE?4． ----- 2分
AB5 设BE=4k，AB=k， ∵ BC=AB， ∴ EC=BC－BE=BA－BE=k． ∵ EC=1， ∴ k=1．------------------------------------------------------ 3分 ∴ BE=4，AB=5． ∴ AE=3．------------------------------------------------ 4分 在Rt△AEF中，?AFE?90?，
EF4 ∵ cos?AEF??，--------------------------------------------- 5分
AE5412 ∴ EF?AE??．------------------------------------------------- 6分
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五、解答题：（第23题7分，第24题7分，第25题6分） 23. 解：（1）AD⊥BC，??DAC??C?90°． ?BAC?90°，??BAF??C． OE⊥OB，??BOA??COE?90°，
?BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；
G B F A
D E O
C
（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA． 由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE， ?BF?OE．
?BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD， 又?BAC??AOG?90°，AB?OA．
?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB．
OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，
?B OFOGOFOFOG????2． ，
BFABOEBFABD F E O
C
A 解法二：
?BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D，
ADAC?Rt△BAD∽Rt△BCA．???2．
BDAB设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，
?AD?2115，BD?AD?5． 525第 10 页 共 14 页