18、（1）令x?0得y?1，所以D(0,1)，所以b?1，令y?0得x??2，所以A(?2,0)，所以a?2，
x2?y2?1；?????????????????4分 所以椭圆C的标准方程为4（2）显然直线AE的斜率存在且为正数，设直线AE的方程为y?k(x?2)（k?0），联立得
?y?k(x?2)?y?k(x?2)1016k?2222M(,)，解得，由得(1?4k)x?16kx?16k?4?0，---6分 ?10?2233x??x?4y?4?3??16k2?162?8k2?16k2?16?2?8k2显然??16，由求根公式得x?或x?（舍），所以 ??22222(1?4k)1?4k2(1?4k)1?4k1?y??(x?2)?12?8k24k?4kE(,)，从而直线BE的方程为y??(x?2)，联立得?，解得 22104k1?4k1?4k?x??3?N(101116k116k18,?)，所以MN?， ??2??，当且仅当k?时取“?”
433k33k33k3因此，线段MN长度的最小值为
8；???????????????????????10分 3（3）由（2）知，k?16442时线段MN的长度最小，此时E(,)，BE?，因为?TBE的面积 4555为S?2S21，所以点T到直线BE的距离为d?，因为直线BE的方程为x?y?2?0， ?BE452 4设过点T且与直线BE平行的直线m的方程为x?y?t?0(t??2)，由两平行线之间距离为
得35|t?2|2，解得t??或t??， ?22423?33?x?y??02当t??时，直线m的方程为x?y??0，联立得?，消去y得5x?12x?5?0， 222?x2?4y2?4?显然判别式??0，故点T有2个；
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5?x?y??055?2t??x?y??0当时，直线m的方程为，联立得?，消去y得5x?20x?21?0， 222?x2?4y2?4?显然判别式??0，故点T不存在．
所以，椭圆C上存在两个点T，使得?TBE的面积为
219、解：（I）n=1时，(a1?1)2?a1,?a1?1．?????????????16分 51…………………………………………2分 2（II）
(Sn?1)2?anSn ?n?2时(Sn?1)2?(Sn?Sn?1)Sn ??2Sn?1??Sn?1Sn-----------4分
S?n ………………………6分 Sn?1-1Sn-11 ?1?Sn?Sn(1?Sn?1) ??1?Sn1?Sn111???????1为定值，???为等差数列…………8分 Sn?1Sn?1?1Sn?1Sn-1Sn-1S?1?n?（Ⅲ）
11??2???2?(n?1)(?1)??n?1 a1?1Sn?12n(Sn?1)1?Sn? ?an?……………………………………10分 ?n?1Snn(n?1)假设存在正整数m，k，使
11??19， 则(k?1)2?m(m?1)?19………12分 akSkam1)]k[?(2?2m)?(2? 1k?2?)(m2??4(k?1)2?4m(m?1)?76 ?[(2k?2m?3)k(2?m2? ?[(2?1)?75?75?1?25? 3??2k?2m?3?75?2k?2m?3?25?2k?2m?3?15或?或? ???2k?2m?1?1?2k?2m?1?3?2k?2m?1?5?k?18?k?6?k?4或?或?.…………………………………………………………16分 ??m?5m?2m?18???20. 解：（I）①a?0时，f(x)?x?2a?alnx（x?0），f'(x)?1?时，f(x)??a?0?f(x)在(0,??)递增；②a?0x?2a?x?alnx,0?x?2a
?x?2a?alnx,x?2aa??1?,0?x?2a??x?f(x)???f(x)在(0,2a)递减，在(2a,??)递增。
?1?a,x?2a??x
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综上，a?0时f(x)在(0,??)递增； a?0时f(x)在(0,2a)递减，在(2a,??)递增。………4分 （II）（1）由（I）知a?0，此时f(x)在(0,2a)递减，在(2a,??)递增， 由题，首先f(2a)??aln2a?0 ?a?下证a?1 …………………………………6分 21时f(x)在(0,2a)和(2a,??)各有一个零点： 2①?a?e时，f(a)?a?alna?a(1?lna)?0，
12f(2a)?0?x1?(a,2a)
f(e3)?e3?2a?alne3?e3?5a?a(e2?5)?0②a?e时，f(e)?2a?e?alne?2(a?e)?0，
f(2a)?0?x2?(2a,e3)
f(2a)?0?x1?[e,2a)
f(e2a)?|e2a?2a|?alne2a?|e2a?2a|?2a2
令p(a)?e2a?2a(a?e)，p'(a)?2e2a?2?0，所以p(a)?p(e)?e2e?2e?0
?f(e2a)?e2a?2a?2a2
令q(a)?e2a?2a?2a2(a?e)，q'(a)?2e2a?2?4a(a?e)，
(q'(a))'?4e2a?4?0?q'(a)?q'(e)?2e2e?2?4e?2(e2e?1?2e)?0
所以q(a)?q(e)?e2e?2e?2e2?e2e?2e(1?e)?e5?2e(1?e)?0即f(e2a)?0
1f(2a)?0?x2?(2a,e2a),得证。综上，a?.……………………………………10分
2（2）要证x1?x2?8a3，因为x1?(0,2a)，只要证x2?4a2，即证f(4a)?0 事实上，f(4a2)?|4a2?2a|?aln(4a2)，
21?f(4a2)?4a2?2a?aln(4a2)?4a2?2a?aln4?2alna 212令g(a)?4a?2a?aln4?2alna(a?)
21g'(a)?8a?2?ln4?2(1?lna)?8a?2lna?4?ln4(a?)
221g''(a)?8??0?所以g'(a)在(,??)递增
a2111?g'(a)?g'()=4?2ln?4?ln4?0?g(a)在(,??)递增
222111?g(a)?g()?1?1?ln4?ln?0，所以f(4a2)?0.?x1?x2?8a3.………16分
222因为a? 第8页