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8．(2011·佛山一检)在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若ak?a1?a2?a3???a7，则k?( B )
A．21 C．23
B．22 D．24
9．(2011·佛山一检)（本题满分14分）
已知正项等差数列?an?的前n项和为Sn，若S3?12，且2a1,a2,a3?1成等比数列. （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）记bn?an3n的前n项和为Tn，求Tn.
解：（Ⅰ）∵S3?12，即a1?a2?a3?12，∴3a2?12，所以a2?4，--------------------------------2 又∵2a1，a2，a3?1成等比数列，
22∴a2?2a1?(a3?1)，即a2?2(a2?d)?(a2?d?1)， --------------------------------4分
解得，d?3或d??4（舍去），
∴a1?a2?d?1，故an?3n?2； ---------------------------------------7分 （Ⅱ）法1：bn?∴Tn?1?①?1313?4?an3132n?3n?2313n?(3n?2)?13n，
13n?7?1323???(3n?2)?133， ①
13n得，Tn?1?323Tn?131?4?132?7?133134???(3n?5)?134?(3n?2)?1n?1①?②得，?3??3??3????3?13n?(3n?2)?31 ②
3n?1
1?13?3?32(1?1?1313n?1)?(3n?2)?31n?1?56?12?13n?1?(3n?2)?13n?1
∴Tn?54?143?13?n?2?3n?22?n??131n?54?6n?541n?13n． ---------------------------------------14分
法2：bn?ann3n?23n3n?1?2?3，
13n?1设An?1?2?13?3?132?4?133???n?， ①
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则
13An?13?2?23132?3?13?133?4??133134???n?13n?113n， ②
13n①?②得，
An?1?132????n?
n13313??n?n??(?n)?n 132231?39931∴An??(?n)?n，
442311?(1?n)3?9?(9?3n)?1?(1?1)?5?6n?5?1． ∴Tn?An?2?3nnn1442334431?31?110．（2011·广东四校一月联考）设Sn为等比数列?an?的前n项和，已知3S3?a4?2，
3S2?a3?2，则公比q? （ B ）
C．5
D．6
A．3 B．4
11．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）
设函数f(x)?f(xn)?xn?1(n?N)
*xa(x?2)，方程x?f(x)有唯一解，其中实数a为常数，f(x1)?22013，
（1）求f(x)的表达式； （2）求x2011的值； （3）若an?
解：（1）由
24xn?4023且bn?an?1?an2an?1an22(n?N)，求证：b1?b2???bn?n?1
*xa(x?2)?x，可化简为ax(x?2)?x
12?ax?(2a?1)x?0 -------2分?当且仅当a?时，方程x?f(x)有唯一解． ---3分
从而f(x)?2xx?2 -------4分
2xnxn?2*（2）由已知f(xn)?xn?1(n?N*)，得
?1xn?1?12?1xn?xn?1
-------5分
，即
1xn?1?1xn?12(n?N)
?1?1?数列??是以
x1?xn?1xn?1x1?(n?1)?12? taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
为首项，
12为公差的等差数列． -------6分
2x1(n?1)x1?2(n?1)x1?22x1，?xn?，即x1?
?f(x1)?22013，?12x1x1?2?2201311006
?xn?21006?1n?2011(n?1)??2100622011?2011?120112n?201122? -------7分
故x2011? -------8分 ，?an?4?2（3）证明：?xn?an?1?an2an?1an22n?201122?4023?2n?1 -------10分
12n?112n?1?bn??(2n?1)?(2n?1)2(2n?1)(2n?1)13)?(1??4n?14n?1152?1?2(2n?1)(2n?1)12n?1?12n?1=1?? ---12分
?b1?b2??bn?n?(1?1?13?)???(1?)?n?1?12n?1?1,
故b1?b2???bn?n?1 -------14分
12．(2011·广州期末)已知等比数列
?an?的公比是2，
a3?3，则
a5的值是 12 .
13．(2011·广州期末)（本小题满分14分） 已知数列
{an}的前n项和为
nSn，且满足
?Sn?1?an(n?*{b}N).各项为正数的数列n中，
对于一切n?N,有 （1）求数列 （2）设数列（1）解：∵
{an}*?k?11bk?bk?1nb1?bn?1， 且
b1?1,b2?2,b3?3.
和
{bn}的通项公式；
Tn{anbn}的前n项和为，
,求证:
Tn?2.
Sn?1?ana?S1?1?a1当n?1时,1, 解得
a1?12. ……1分
a?Sn?Sn?1??1?an???1?an?1?当n?2时,n,
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an得
2an?an?1, 即
an?1?12. …… 3分
11∴数列
{an}是首项为2, 公比为2的等比数列.
n?1?1?an????2?2?∴
1?12. …… 4分
nn?n ∵ 对于一切n?N*?1,有k?1bk?bk?1b1?bn?1， n?1?1?n?1当n?2时, 有
k?1bk?bk?1b1?bn， 1?n?n?11
? ② 得：
bn?bn?1b1?bn?1b1?bn 化简得:
(n?1)bn?1?nbn?b1?0, 用n?1替换③式中的n，得：nbn?2?(n?1)bn?1?b1?0, ③－④ 整理得：
bn?2?bn?1?bn?1?bn，
∴当n?2时, 数列{bn}为等差数列.
∵
b3?b2?b2?b1?1,
∴ 数列{bn}为等差数列. ∵
b1?1,b2?2
∴数列
{bn}的公差d?1.
∴
bn?1??n?1??n. (2)证明:∵数列
{anbn}的前n项和为
Tn,
T1?2?3n?222???n ∴
232n, ⑤ 1T2n ∴2n?122?22???2n?1 , ⑥
①
②
③
④ ……6分
…… 8分
…… 10分
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1⑤－⑥得：2Tn?12?122???12n?n2n?1 …… 12分
n1??1???1????2??2??n????n?1121?2
?1?n?22n?1
Tn?2?n?22n.
?2∴. ……14分
14．（2011·哈九中高三期末）若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn和Tn，已知
SnTn
?
7nn?3，则
a5b5? B．
（ ） D．
A．7
23 C．
278
214
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质，把
a5b5转化为
S9T9.
9(a1?a9)【解析】
a5b5?2a52b5?a1?a9b1?b9?S212. ?9?2(b1?b9)T942【考点】数列。
【点评】如果两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn和Tn，仿照本题解析的方法一定有关系式
anbn?SnTn。
15．（2011·哈九中高三期末）设?an?是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1?1,a99a100?1?0,a99?1a100?1?0，给出下列结论：
（1）0?q?1；（2）T198?1；（3）a99a101?1；（4）使Tn?1成立的最小自然数n
等于199，其中正确的编号为 【答案】（1）、（3）、（4）。
【分析】首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断。
【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据
a99a100?1?0，可知该等比数列的公比是正值，再根据
a99?1a100?1?0可知，a99,a100一个大于1，一个小于1，
而a1?1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0?q?1，而且a99?1,a100?1，又